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わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析(その4) [数学]

【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】

(4) 微分

 極限が超準解析でシンプルに表現できたので、微分も同様にシンプルに表現できます。

 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$とします。$f$に対して2変数関数 $df : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ を次で定めます。
\[ df(x,dx) = f(x+dx)-f(x) \]
ここで $x,dx$ はどちらも$\mathbb{R}$上を動く変数です。ここで$x$に対して極限値
\[ \lim_{dx \to 0} \frac{df(x,dx)}{dx} \]
が存在するならば、$f$は$x$で微分可能でその極限値を $f'(x)$ とかくのでした。

 これを超準解析で表現すると次のようになります。$f$の超準拡大 ${}^*f : {}^*\mathbb{R} \to {}^*\mathbb{R}$ がとれることと同様に、$df$も超準拡大 ${}^*df : {}^*\mathbb{R}^2 \to {}^*\mathbb{R}$ がとれて、
\[ {}^*df(x,dx) = {}^*f(x+dx)-{}^*f(x) \]
となります。$x,dx$ は${}^*\mathbb{R}$上を動く変数です。従って実数$x$に対して$f$が$x$で微分可能ならば、$dx \in \mathrm{monad}(0) \setminus \{ 0 \}$(0でない無限小)のとき、
\[ f'(x) = \mathrm{st} \left( \frac{{}^*df(x,dx)}{dx} \right) \]
あるいは
\[ f'(x) \approx \frac{{}^*df(x,dx)}{dx} \]
が成り立つことになります。

 $dx$が無限小のときは、${}^*df(x,dx)$ は$f$の$x$における無限小の差分といえますので、微分とは「無限小の差分の比」という意味になることが上の表現からわかります。ここで${}^*\mathbb{R}$上を動く変数 $y,dy$ が
\[y={}^*f(x), \quad dy={}^*df(x,dx) \]
をみたすものとすると、$dx$が0でない無限小のとき
\[ f'(x) \approx \frac{dy}{dx} \]
となります。この右辺は微分の表現としてよく使われますが、その意味がこれでよく理解できますね。

 別の関数$g$が$x$で微分可能とすると、同様に考えて$dx$が0でない無限小のとき、
\[ g'(x) \approx \frac{{}^*dg(x,dx)}{dx} \]
が成り立ちます。一方、
\[ \begin{align}
{}^*f(x+dx){}^*g(x+dx)-{}^*f(x){}^*g(x) &= {}^*f(x+dx)({}^*g(x+dx)-{}^*g(x))+({}^*f(x+dx)-{}^*f(x)){}^*g(x) \\
&= {}^*f(x+dx){}^*dg(x,dx)+{}^*df(x,dx){}^*g(x)
\end{align} \]
より、
\[ \frac{{}^*f(x+dx){}^*g(x+dx)-{}^*f(x){}^*g(x)}{dx} = {}^*f(x+dx) \frac{{}^*dg(x,dx)}{dx}+ \frac{{}^*df(x,dx)}{dx}{}^*g(x) \]
となるので、$f$が$x$で連続であることを考慮すると、$dx$が0でない無限小のとき次式となります。
\[ \frac{{}^*f(x+dx){}^*g(x+dx)-{}^*f(x){}^*g(x)}{dx} \approx f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \]
従って$f$と$g$の積 $fg$ も$x$で微分可能となり、よく知られた積の微分公式が得られます。

 2階の導関数についても表現してみましょう。2変数関数 $d^2f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ を$df$を用いて次で定めます。
\[ d^2f(x,dx) = df(x+dx,dx)-df(x,dx) \]
これに対して超準拡大 ${}^*d^2f : {}^*\mathbb{R}^2 \to {}^*\mathbb{R}$ がとれることも同様です。
 実数$x$のある近傍で$f$が2回連続微分可能とします。このとき平均値の定理と移行原理より、$dx$が十分小さければ、
\[ {}^*df(x+dx,dx) = {}^*f'(x+dx+ \alpha dx)dx \\
{}^*df(x,dx) = {}^*f'(x+ \beta dx)dx \]
をみたす $\alpha, \beta \ (0 < \alpha < 1, 0 < \beta < 1)$ が存在します。$f'$ に対して再度平均値の定理と移行原理を用いると、
\[ {}^*f'(x+dx+ \alpha dx) - {}^*f'(x+ \beta dx) = {}^*f''(x + \gamma dx)dx \]
をみたす $\gamma \ (0 < \gamma < 2)$ が存在します。合わせると、
\[ \begin{align}
{}^*d^2f(x,dx) &= {}^*df(x+dx,dx)-{}^*df(x,dx) \\
&= ({}^*f'(x+dx+ \alpha dx) - {}^*f'(x+ \beta dx))dx \\
&= {}^*f''(x + \gamma dx)dx^2
\end{align} \]
となりますが、$dx$が0でない無限小のときは $f''$ の連続性より、
\[ {}^*f''(x + \gamma dx) \approx f''(x) \]
がいえますので、
\[ f''(x) \approx \frac{{}^*d^2f(x,dx)}{dx^2} \]
が得られます。
 変数 $d^2y$ が $d^2y = {}^*d^2f(x,dx)$ をみたすものとすると、
\[ f''(x) \approx \frac{d^2y}{dx^2} \]
とこれもおなじみの表現が得られます。
 さらに高階の導関数についても同様です。

 このように、超実数の世界で無限小や無限大を実数と同様な数として扱い、極限をその標準部分をとる操作として考えることによって、色々な証明がかなりシンプルになることがあります。例えばロピタルの定理の ∞/∞ バージョンについても、以前にこちらの記事で紹介したようなシンプルな証明が可能です。

(続く)(前記事)(目次)

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