わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析（その11） [数学]
【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】
(11) 距離空間の完備化
今回は超準モデルを用いて距離空間の完備化を構成します。距離空間 $\langle X,d_X \rangle, \langle Y,d_Y \rangle$ について、$Y$が$X$の完備化であるとは、
① $X$から$Y$への距離を保つ単射$\iota$があって、像 $\iota [X]$ が$Y$において稠密である。
② $Y$は完備である。
の両方をみたすことをいいます。任意の距離空間にはその完備化が存在し、それはある意味で一意的に定まるのですが、ここでは一意性については割愛します。
完備化の構成自体は極めて簡単です。
$\hat{X}$の元は$(1)$より明らかに有限点なので、$d_Y$の値は実数値として代表元のとり方によらず定まります。さらに$d_Y$が距離関数の性質をみたすことも明らかですから、$\langle Y,d_Y \rangle$ は距離空間です。これが $\langle X,d_X \rangle$ の完備化の性質をもつことを以下順を追って証明します。
まず $X \subseteq \hat{X}$ であることから、$\iota : X \to Y$を
\[ \iota(x) = [x] \]
で定めます。これは明らかに単射で距離を保つ、すなわち、
\[ \forall u,v \in X \, (d_X(u,v) = d_Y(\iota(u), \iota(v))) \]
が成り立ちますから、移行原理より
\[ \forall u,v \in {}^*X \, ({}^*d_X(u,v) = {}^*d_Y({}^*\iota(u), {}^*\iota(v))) \tag{2} \]
も成り立ちます。ここで超準拡大${}^*\iota$は${}^*X$から${}^*Y$への関数です。
$\iota$によって$X$を$Y$に埋め込んで $X \subseteq Y$ とみなすこともできますが、そうしてしまうと以下の証明で頭が混乱しますので、ここではあえてそのような埋め込みはしません。
完備化の性質①は直ちにわかります。
（証明）任意の$Y$の元 $[x]$（$x \in \hat{X}$）と正実数$\epsilon$に対して、$(1)$より ${}^*d_X(x,z) < \epsilon$ をみたす $z \in X$ が存在し、
\[ d_Y([x], \iota(z)) = d_Y([x], [z]) = \mathrm{st}({}^*d_X(x,z)) \le \epsilon \]
となるから、$\iota[X]$ は$Y$において稠密である。□
完備化の性質②を示すために、一見あたりまえに思える次の補題を証明します。
（証明）任意に $x \in \hat{X}$ をとる。任意の正実数$\epsilon$に対して、【補題1】の証明と同様に、${}^*d_X(x,z) < \epsilon$ をみたす $z \in X$ が存在して $d_Y([x],\iota(z)) \le \epsilon$ となる。さらに$(2)$より
\[ {}^*d_Y({}^*\iota(x),\iota(z)) = {}^*d_X(x,z) < \epsilon \]
であるから、
\[ {}^*d_Y({}^*\iota(x),[x]) \le {}^*d_Y({}^*\iota(x),\iota(z)) + d_Y([x],\iota(z)) < 2 \epsilon \]
が成り立つ。$\epsilon$は任意の正実数だから ${}^*\iota(x) \approx [x]$ である。□
この結果を用いると、完備性が次のようにコーシー列を用いずに証明できます。
（証明）第8回【定理2】より、
\[ \forall y \in {}^*Y \, (\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in Y \, ({}^*d_Y(y,x) < \epsilon) \to \exists x \in Y \, (y \approx x)) \tag{3} \]
が成り立つことを示せばよい。任意に
\[ \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in Y \, ({}^*d_Y(y,x) < \epsilon) \tag{4} \]
をみたす $y \in {}^*Y$ をとる。$\iota[X]$ が$Y$において稠密だから、第7回の表の最下段の結果と ${}^*(\iota[X]) = {}^*\iota[{}^*X]$ より、${}^*\iota(x) \approx y$ となる $x \in {}^*X$ が存在する。任意に正実数$\epsilon$をとると、$(4)$より ${}^*d_Y(y,[z]) < \epsilon /3$ となる $z \in \hat{X}$ が存在し、これに対し$(1)$より ${}^*d_X(z,w) < \epsilon /3$ となる $w \in X$ が存在する。$(2)$より
\[ {}^*d_Y({}^*\iota(z),\iota(w)) = {}^*d_X(z,w) < \epsilon /3 \]
であって、さらに【補題2】より ${}^*\iota(z) \approx [z]$ であるから、
\begin{align}
{}^*d_X(x,w) &= {}^*d_Y({}^*\iota(x),\iota(w)) \\
&\le {}^*d_Y({}^*\iota(x),y) + {}^*d_Y(y,[z]) + {}^*d_Y([z],{}^*\iota(z)) + {}^*d_Y({}^*\iota(z),\iota(w)) \\
&\le \epsilon /3 + \epsilon /3 \\
&< \epsilon
\end{align}
となり、これより $x \in \hat{X}$ であることがわかる。よって $[x] \in Y$ かつ【補題2】より $[x] \approx {}^*\iota(x) \approx y$ となるから、$y$は
\[ \exists x \in Y \, (y \approx x) \]
をみたし、従って$(3)$が成り立つから$Y$は完備である。□
以上【補題1】〜【補題3】によって、この構成で得られた距離空間$Y$が$X$の完備化であることが証明できました。
（続く）（前記事）（目次）
(11) 距離空間の完備化
今回は超準モデルを用いて距離空間の完備化を構成します。距離空間 $\langle X,d_X \rangle, \langle Y,d_Y \rangle$ について、$Y$が$X$の完備化であるとは、
① $X$から$Y$への距離を保つ単射$\iota$があって、像 $\iota [X]$ が$Y$において稠密である。
② $Y$は完備である。
の両方をみたすことをいいます。任意の距離空間にはその完備化が存在し、それはある意味で一意的に定まるのですが、ここでは一意性については割愛します。
完備化の構成自体は極めて簡単です。
【完備化の構成】距離空間 $\langle X,d_X \rangle$ に対し、${}^*X$の元$x$で、
\[ \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists z \in X \, ({}^*d_X(x,z) < \epsilon) \tag{1} \]
をみたすものの全体を$\hat{X}$とし、これを関係$\approx$で割った商集合を$Y$とする。さらに $d_Y : Y^2 \to \mathbb{R}$ を
\[ d_Y([x],[y]) = \mathrm{st}({}^*d_X(x,y)) \]
によって定める（ただし $[x],[y]$ はそれぞれ $x,y \in \hat{X}$ を代表元とする$Y$の元を表す）。このとき $\langle Y,d_Y \rangle$ は $\langle X,d_X \rangle$ の完備化である。
$\hat{X}$の元は$(1)$より明らかに有限点なので、$d_Y$の値は実数値として代表元のとり方によらず定まります。さらに$d_Y$が距離関数の性質をみたすことも明らかですから、$\langle Y,d_Y \rangle$ は距離空間です。これが $\langle X,d_X \rangle$ の完備化の性質をもつことを以下順を追って証明します。
まず $X \subseteq \hat{X}$ であることから、$\iota : X \to Y$を
\[ \iota(x) = [x] \]
で定めます。これは明らかに単射で距離を保つ、すなわち、
\[ \forall u,v \in X \, (d_X(u,v) = d_Y(\iota(u), \iota(v))) \]
が成り立ちますから、移行原理より
\[ \forall u,v \in {}^*X \, ({}^*d_X(u,v) = {}^*d_Y({}^*\iota(u), {}^*\iota(v))) \tag{2} \]
も成り立ちます。ここで超準拡大${}^*\iota$は${}^*X$から${}^*Y$への関数です。
$\iota$によって$X$を$Y$に埋め込んで $X \subseteq Y$ とみなすこともできますが、そうしてしまうと以下の証明で頭が混乱しますので、ここではあえてそのような埋め込みはしません。
完備化の性質①は直ちにわかります。
【補題1】$\iota [X]$ は$Y$において稠密である。
（証明）任意の$Y$の元 $[x]$（$x \in \hat{X}$）と正実数$\epsilon$に対して、$(1)$より ${}^*d_X(x,z) < \epsilon$ をみたす $z \in X$ が存在し、
\[ d_Y([x], \iota(z)) = d_Y([x], [z]) = \mathrm{st}({}^*d_X(x,z)) \le \epsilon \]
となるから、$\iota[X]$ は$Y$において稠密である。□
完備化の性質②を示すために、一見あたりまえに思える次の補題を証明します。
【補題2】任意の $x \in \hat{X}$ に対して ${}^*\iota(x) \approx [x]$ である。
（証明）任意に $x \in \hat{X}$ をとる。任意の正実数$\epsilon$に対して、【補題1】の証明と同様に、${}^*d_X(x,z) < \epsilon$ をみたす $z \in X$ が存在して $d_Y([x],\iota(z)) \le \epsilon$ となる。さらに$(2)$より
\[ {}^*d_Y({}^*\iota(x),\iota(z)) = {}^*d_X(x,z) < \epsilon \]
であるから、
\[ {}^*d_Y({}^*\iota(x),[x]) \le {}^*d_Y({}^*\iota(x),\iota(z)) + d_Y([x],\iota(z)) < 2 \epsilon \]
が成り立つ。$\epsilon$は任意の正実数だから ${}^*\iota(x) \approx [x]$ である。□
この結果を用いると、完備性が次のようにコーシー列を用いずに証明できます。
【補題3】$Y$は完備である。
（証明）第8回【定理2】より、
\[ \forall y \in {}^*Y \, (\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in Y \, ({}^*d_Y(y,x) < \epsilon) \to \exists x \in Y \, (y \approx x)) \tag{3} \]
が成り立つことを示せばよい。任意に
\[ \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in Y \, ({}^*d_Y(y,x) < \epsilon) \tag{4} \]
をみたす $y \in {}^*Y$ をとる。$\iota[X]$ が$Y$において稠密だから、第7回の表の最下段の結果と ${}^*(\iota[X]) = {}^*\iota[{}^*X]$ より、${}^*\iota(x) \approx y$ となる $x \in {}^*X$ が存在する。任意に正実数$\epsilon$をとると、$(4)$より ${}^*d_Y(y,[z]) < \epsilon /3$ となる $z \in \hat{X}$ が存在し、これに対し$(1)$より ${}^*d_X(z,w) < \epsilon /3$ となる $w \in X$ が存在する。$(2)$より
\[ {}^*d_Y({}^*\iota(z),\iota(w)) = {}^*d_X(z,w) < \epsilon /3 \]
であって、さらに【補題2】より ${}^*\iota(z) \approx [z]$ であるから、
\begin{align}
{}^*d_X(x,w) &= {}^*d_Y({}^*\iota(x),\iota(w)) \\
&\le {}^*d_Y({}^*\iota(x),y) + {}^*d_Y(y,[z]) + {}^*d_Y([z],{}^*\iota(z)) + {}^*d_Y({}^*\iota(z),\iota(w)) \\
&\le \epsilon /3 + \epsilon /3 \\
&< \epsilon
\end{align}
となり、これより $x \in \hat{X}$ であることがわかる。よって $[x] \in Y$ かつ【補題2】より $[x] \approx {}^*\iota(x) \approx y$ となるから、$y$は
\[ \exists x \in Y \, (y \approx x) \]
をみたし、従って$(3)$が成り立つから$Y$は完備である。□
以上【補題1】〜【補題3】によって、この構成で得られた距離空間$Y$が$X$の完備化であることが証明できました。
（続く）（前記事）（目次）
partial metric (pmetric) space と呼ばれる距離空間の一般化（T_0 分離公理しか満たさない）があります。（大雑把に言えば d(x, x)=0 という距離の公理を取り除いたもの。）この種の空間も完備化を持つのですが、一意性の証明には対称稠密性という少し強い条件が使われています。対称稠密性を（通常の距離空間と同じように）稠密性に緩められないか、というのが未解決問題です。また、pmetric space X とその完備化 Y で、Y は X の中で稠密だが対称稠密でない、というものが存在するか、という未解決問題もあります。（Ge and Lin "Completions of partial metric spaces"）
超準解析による完備化の構成を pmetric spaces に一般化してみると面白いかもしれません。（ちなみに全く同じ構成は上手く行かなさそうです。d(x, x)≠0 かもしれないので、d(x, y) ~ 0 という関係が同値関係にならない。）もしかすると上記の問題が見通しよく解決できるかもしれません。もし興味があれば。
by Amn (2019-05-17 04:20)
Amnさん、ありがとうございます。partial metric (pmetric) space は初めて知った概念です。難しそうですがご紹介いただいた論文などを読んで勉強してみます。
by ロイロット博士 (2019-05-17 23:58)
一意性証明において対称稠密性を稠密性に緩められないことは既に（2017年）知られていたようです。（https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.2989/16073606.2017.1303004）
空な pmetric space の完備化は一意的です。さらに、空集合がある空間の中で稠密なら、自動的に対称稠密になります。（空集合がその中で稠密となるような空間は空な空間だけだから。）ゆえに「空でない pmetric space は対称でない完備化を持つか？」が問題ですが、これも最近解決されました。（https://arxiv.org/abs/1910.09013）
pmetric という変な距離概念は、カーン・モデルと呼ばれる並列計算モデルに応用を持ちます。カーン・モデルというのは、幾つかのプロセスたちからなり、各プロセスがストリーム（際限なくデータが出力され続けるようなもの）を生成して別のプロセスに入力として与えるような並列計算モデルです。
いまストリームが有限種類の記号からなるものとします。Σ を有限個の記号からなる集合とすれば、ストリームは Σ の元の無限列、つまり Σ^ω の元と見做せます。Σ には離散距離が入ります。距離空間の可算直積は再び距離化可能なので、Σ^ω は距離空間です。（これは完備です。もっといえば弱ケーニヒの補題より、コンパクトになります。）具体的には、d(x, y)= 2^{(-1) (x と y の共通の始切片の最長の長さ)} で距離が与えられます。例えば、Σ={0, 1, …,9} なら、d(314159…, 314259…) = 2^{-3} = 1/8、d(314159…, 141421…) = 2^{-0} = 1 です。
一方、各プロセスの途中結果は、ストリームの最初の有限項からなる、不完全なストリームであるはずです。（有限時間のうちに無限のストリームを生成しきることはできないので。）そうした不完全なストリームは Σ の元の有限列、すなわち Σ^* の元として表せます。（アスタリスク * はクリーネ閉包のことで、超準解析とは無関係です。）ここに先ほどと同じように距離を入れて、完備性や収束性、不動点定理などを考えたい、という動機があります。しかしこれはうまくいきません。（何故なら Σ^* はハウスドルフ空間ではないので。）そこで考えられたのが pmetric です。Σ^* には先程と同じ定義で pmetric が定まり、その完備化が Σ^ω∪Σ^* になります。
pmetric を使ってカーン・モデルのどんな実用的問題が解決されるのかについては https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/030439759500051W を御覧ください。
by Amn (2019-10-28 22:47)