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わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析(目次) [数学]

【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】

 数学の知識をある程度つけた者が、超実数の世界では無限小やら無限大やらが自由に扱えることを知って、なんか面白いと思って超準解析をテキストでちゃんと勉強しようとします。するとそこには「ツェルメロ宇宙」やら「上部構造」やらのいきなり小難しい概念から始まるので、そこで萎えてしまうこともあろうかと思います。ここではもう少し簡単に、一般に数学モデルにはそれを拡大した「超準モデル」が存在することを説明し、それを実数体に適用することで「超実数体」が得られる、そして「移行原理」を駆使することで様々な性質が導ける、という順序で超準解析のサワリを紹介します。

(目次)

(1) 超準モデルについて

(2) 実数体の超準モデル「超実数体」

(3) 極限、連続、一様連続

(4) 微分

(5) 超自然数と数列

(6) 超冪による超準モデルの構成

(7) 距離空間の超準モデル

(8) 全有界+完備 ⇔ コンパクト

(9) 距離空間上の関数列

(10) アスコリ・アルツェラの定理

(11) 距離空間の完備化

(12) 絶対値をもつ可換環の完備化(p進数体の構成など)

(13) 超有理数体を用いた実数体の構成

(14) 超有理数から導くp進数とp進展開

(15) 積分と*有限和

(16) ヒルベルト立方体のコンパクト性

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