わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析（その16） [数学]
【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】
(16) ヒルベルト立方体のコンパクト性
今回は、何の脈絡もなくタイトルの事実を超準解析を使って証明します（単に僕が簡単で面白いと思ったからです）。
ヒルベルト立方体とは、$\mathbb{R}$ の閉区間 $[0,1]$ の可算無限個の直積、つまり $0$ 以上 $1$ 以下の値をとる実数列の全体のことをいいます。これを $\mathcal{H}$ と書くことにします。
\begin{equation*}
\mathcal{H} = [0,1]^\mathbb{N} = \, \{ \, \alpha \, \mid \, \alpha \in {}^\mathbb{N}\mathbb{R} \land \forall i \in \mathbb{N} \, (0 \le \alpha(i) \le 1) \, \}
\end{equation*}
$\mathcal{H}$ 上に次によって距離 $d$ を定めると、$\langle \mathcal{H},d \rangle$ は距離空間になります。
\begin{equation*}
d(\alpha,\beta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{\left| \alpha(i)-\beta(i) \right|}{2^{i+1}}
\end{equation*}
以下、超準解析を使って $\langle \mathcal{H},d \rangle$ がコンパクト空間であることを証明します。
距離空間がコンパクトであることを超準解析で証明するためには、第8回【定理3】を使えばよいわけですが、$\mathcal{H}$ の距離の定義に無限級数が使われていますので、そのままでは超準モデル ${}^*\mathcal{H}$ の距離にはうまく移行できません。このため次で示すように、無限級数を有限和で近似させるという手段を取ります。
$\alpha \in \mathcal{H}$ と自然数 $n$ に対し、$\alpha$ の $n$ 番目以降の値が全て $0$ である数列を $\alpha^{(n)}$ と書くことにします。このとき、
\begin{equation*}
d(\alpha,\alpha^{(n)}) = \sum_{i=n}^\infty \frac{\left| \alpha(i) \right|}{2^{i+1}} \le \sum_{i=n}^\infty \frac{1}{2^{i+1}} = \frac{1}{2^n}
\end{equation*}
より、
\begin{equation} \tag{1}
d(\alpha,\alpha^{(n)}) \le \frac{1}{2^n}
\end{equation}
が成立します。また、$\alpha, \beta \in \mathcal{H}$ と自然数 $n$ に対し、
\begin{equation*}
d(\alpha^{(n)}, \beta^{(n)}) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|}{2^{i+1}} \le \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2^{i+1}} = \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} (1 - \frac{1}{2^n})
\end{equation*}
より
\begin{equation} \tag{2}
d(\alpha^{(n)}, \beta^{(n)}) \le \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} (1 - \frac{1}{2^n})
\end{equation}
が成立します。
一方、$\mathcal{H}$ の超準モデル ${}^*\mathcal{H}$ については、
\begin{equation*}
{}^*\mathcal{H} = \, \{ \, \alpha \, \mid \, \alpha \in {}^{{}^*\mathbb{N}*}\mathbb{R} \land \forall i \in {}^*\mathbb{N} \, (0 \le \alpha(i) \le 1) \, \}
\end{equation*}
つまり、${}^*\mathcal{H}$ は $0$ 以上 $1$ 以下の超実数列（番号も超自然数）の全体です。$\alpha \in {}^*\mathcal{H}$ と超自然数 $n$ に対して $\alpha^{(n)}$ を同様に定めると、$(1)$と移行原理より
\begin{equation} \tag{3}
{}^*d(\alpha,\alpha^{(n)}) \le \frac{1}{2^n}
\end{equation}
が成立し、また、$\alpha, \beta \in {}^*\mathcal{H}$ と超自然数 $n$ に対して、$(2)$と移行原理より
\begin{equation} \tag{4}
{}^*d(\alpha^{(n)}, \beta^{(n)}) \le \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} (1 - \frac{1}{2^n})
\end{equation}
が成立します。
さて、$\mathcal{H}$ がコンパクトであることを示すためには、第8回【定理3】より、任意の $\alpha \in {}^*\mathcal{H}$ に対して
\begin{equation*}
{}^*d(\alpha, \beta) \approx 0
\end{equation*}
となる $\beta \in \mathcal{H}$ が存在することを示せばよいわけです。いま任意に $\alpha \in {}^*\mathcal{H}$ をとります。これに対して、
\begin{equation*}
\forall i \in \mathbb{N} \, (\beta(i) = \mathrm{st}(\alpha(i)))
\end{equation*}
となる $\beta \in \mathcal{H}$ をとることができます（$0 \le \alpha(i) \le 1$ だから右辺は実数値として定まります）。ここで任意に正実数 $\epsilon$ をとると、これに対して
\begin{equation*}
\frac{1}{2^n} < \epsilon
\end{equation*}
をみたす自然数 $n$ がとれ、$(1)$より
\begin{equation*}
d(\beta,\beta^{(n)}) \le \frac{1}{2^n} < \epsilon
\end{equation*}
となります。次に、
\begin{equation*}
\mu = \max_{i \le n-1}{ \left| \beta(i) - \alpha(i) \right| }
\end{equation*}
とおくと、$\beta$ の定め方より $\mu \approx 0$ ですから、$(4)$より
\begin{equation*}
{}^*d(\beta^{(n)}, \alpha^{(n)}) \le \mu (1 - \frac{1}{2^n}) \approx 0
\end{equation*}
となって ${}^*d(\beta^{(n)}, \alpha^{(n)}) \approx 0$ です。さらに$(3)$より
\begin{equation*}
{}^*d(\alpha^{(n)}, \alpha) \le \frac{1}{2^n} < \epsilon
\end{equation*}
です。これらより
\begin{equation*}
{}^*d(\beta, \alpha) \le d(\beta,\beta^{(n)}) + {}^*d(\beta^{(n)}, \alpha^{(n)}) + {}^*d(\alpha^{(n)}, \alpha) \le 2\epsilon
\end{equation*}
となって、
\begin{equation*}
{}^*d(\beta, \alpha) \le 2\epsilon
\end{equation*}
が得られます。$\epsilon$ は任意の正実数だから ${}^*d(\beta, \alpha) \approx 0$ ということになり、第8回【定理3】より $\langle \mathcal{H},d \rangle$ がコンパクト空間であることが証明されました。
距離の定義となった無限級数に移行原理を使おうとするのではなく、有限和から得られた不等式に移行原理を適用するのが本証明のミソです。
（続く）（前記事）（目次）
(16) ヒルベルト立方体のコンパクト性
今回は、何の脈絡もなくタイトルの事実を超準解析を使って証明します（単に僕が簡単で面白いと思ったからです）。
ヒルベルト立方体とは、$\mathbb{R}$ の閉区間 $[0,1]$ の可算無限個の直積、つまり $0$ 以上 $1$ 以下の値をとる実数列の全体のことをいいます。これを $\mathcal{H}$ と書くことにします。
\begin{equation*}
\mathcal{H} = [0,1]^\mathbb{N} = \, \{ \, \alpha \, \mid \, \alpha \in {}^\mathbb{N}\mathbb{R} \land \forall i \in \mathbb{N} \, (0 \le \alpha(i) \le 1) \, \}
\end{equation*}
$\mathcal{H}$ 上に次によって距離 $d$ を定めると、$\langle \mathcal{H},d \rangle$ は距離空間になります。
\begin{equation*}
d(\alpha,\beta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{\left| \alpha(i)-\beta(i) \right|}{2^{i+1}}
\end{equation*}
以下、超準解析を使って $\langle \mathcal{H},d \rangle$ がコンパクト空間であることを証明します。
距離空間がコンパクトであることを超準解析で証明するためには、第8回【定理3】を使えばよいわけですが、$\mathcal{H}$ の距離の定義に無限級数が使われていますので、そのままでは超準モデル ${}^*\mathcal{H}$ の距離にはうまく移行できません。このため次で示すように、無限級数を有限和で近似させるという手段を取ります。
$\alpha \in \mathcal{H}$ と自然数 $n$ に対し、$\alpha$ の $n$ 番目以降の値が全て $0$ である数列を $\alpha^{(n)}$ と書くことにします。このとき、
\begin{equation*}
d(\alpha,\alpha^{(n)}) = \sum_{i=n}^\infty \frac{\left| \alpha(i) \right|}{2^{i+1}} \le \sum_{i=n}^\infty \frac{1}{2^{i+1}} = \frac{1}{2^n}
\end{equation*}
より、
\begin{equation} \tag{1}
d(\alpha,\alpha^{(n)}) \le \frac{1}{2^n}
\end{equation}
が成立します。また、$\alpha, \beta \in \mathcal{H}$ と自然数 $n$ に対し、
\begin{equation*}
d(\alpha^{(n)}, \beta^{(n)}) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|}{2^{i+1}} \le \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2^{i+1}} = \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} (1 - \frac{1}{2^n})
\end{equation*}
より
\begin{equation} \tag{2}
d(\alpha^{(n)}, \beta^{(n)}) \le \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} (1 - \frac{1}{2^n})
\end{equation}
が成立します。
一方、$\mathcal{H}$ の超準モデル ${}^*\mathcal{H}$ については、
\begin{equation*}
{}^*\mathcal{H} = \, \{ \, \alpha \, \mid \, \alpha \in {}^{{}^*\mathbb{N}*}\mathbb{R} \land \forall i \in {}^*\mathbb{N} \, (0 \le \alpha(i) \le 1) \, \}
\end{equation*}
つまり、${}^*\mathcal{H}$ は $0$ 以上 $1$ 以下の超実数列（番号も超自然数）の全体です。$\alpha \in {}^*\mathcal{H}$ と超自然数 $n$ に対して $\alpha^{(n)}$ を同様に定めると、$(1)$と移行原理より
\begin{equation} \tag{3}
{}^*d(\alpha,\alpha^{(n)}) \le \frac{1}{2^n}
\end{equation}
が成立し、また、$\alpha, \beta \in {}^*\mathcal{H}$ と超自然数 $n$ に対して、$(2)$と移行原理より
\begin{equation} \tag{4}
{}^*d(\alpha^{(n)}, \beta^{(n)}) \le \max_{i \le n-1}{\left| \alpha(i) - \beta(i) \right|} (1 - \frac{1}{2^n})
\end{equation}
が成立します。
さて、$\mathcal{H}$ がコンパクトであることを示すためには、第8回【定理3】より、任意の $\alpha \in {}^*\mathcal{H}$ に対して
\begin{equation*}
{}^*d(\alpha, \beta) \approx 0
\end{equation*}
となる $\beta \in \mathcal{H}$ が存在することを示せばよいわけです。いま任意に $\alpha \in {}^*\mathcal{H}$ をとります。これに対して、
\begin{equation*}
\forall i \in \mathbb{N} \, (\beta(i) = \mathrm{st}(\alpha(i)))
\end{equation*}
となる $\beta \in \mathcal{H}$ をとることができます（$0 \le \alpha(i) \le 1$ だから右辺は実数値として定まります）。ここで任意に正実数 $\epsilon$ をとると、これに対して
\begin{equation*}
\frac{1}{2^n} < \epsilon
\end{equation*}
をみたす自然数 $n$ がとれ、$(1)$より
\begin{equation*}
d(\beta,\beta^{(n)}) \le \frac{1}{2^n} < \epsilon
\end{equation*}
となります。次に、
\begin{equation*}
\mu = \max_{i \le n-1}{ \left| \beta(i) - \alpha(i) \right| }
\end{equation*}
とおくと、$\beta$ の定め方より $\mu \approx 0$ ですから、$(4)$より
\begin{equation*}
{}^*d(\beta^{(n)}, \alpha^{(n)}) \le \mu (1 - \frac{1}{2^n}) \approx 0
\end{equation*}
となって ${}^*d(\beta^{(n)}, \alpha^{(n)}) \approx 0$ です。さらに$(3)$より
\begin{equation*}
{}^*d(\alpha^{(n)}, \alpha) \le \frac{1}{2^n} < \epsilon
\end{equation*}
です。これらより
\begin{equation*}
{}^*d(\beta, \alpha) \le d(\beta,\beta^{(n)}) + {}^*d(\beta^{(n)}, \alpha^{(n)}) + {}^*d(\alpha^{(n)}, \alpha) \le 2\epsilon
\end{equation*}
となって、
\begin{equation*}
{}^*d(\beta, \alpha) \le 2\epsilon
\end{equation*}
が得られます。$\epsilon$ は任意の正実数だから ${}^*d(\beta, \alpha) \approx 0$ ということになり、第8回【定理3】より $\langle \mathcal{H},d \rangle$ がコンパクト空間であることが証明されました。
距離の定義となった無限級数に移行原理を使おうとするのではなく、有限和から得られた不等式に移行原理を適用するのが本証明のミソです。
（続く）（前記事）（目次）
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