アカンポのアイデアに基づく実数体の構成法（自分なりのアレンジ） [数学]
以前の記事 「アカンポ（ Norbert A'Campo ）の実数論について」発表レポート」 で紹介した、‘‘A natural construction for the real numbers’’ （2003年1月3日 arXiv投稿）ですが、本記事ではこのアイデアに基づいて実際に実数体を構成してみます。
とはいっても、オリジナルのペーパーに載っている実数体の各性質の証明は、僕にとってはちょっと細かいテクニックが多くて難解だったので、アカンポのアイデアだけパクり、証明は自分なりのやり方で組んでみました。結果、「イデアルによる同値類」など馴染みのある手法を使って構成できて、もっとも面倒な完備性の証明も割と理解しやすいものになったと思います。少々長いですが、以下順を追って説明します。
(1) $\mathbb{R}$の構成
$\mathbb{N}$を0を含む自然数の全体、$\mathbb{Z}$を整数の全体とし、これらの性質は既知とします。また、$\mathbb{N}_+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ とします。
最初に次の定義をおきます。
ここで$\omega$は最小の無限基数を表します。従って、集合$A$に対して $\left| A \right| < \omega$ とは$A$が有限集合であることを意味し、また、$\left| A \right| \ge \omega$ とは$A$が無限集合であることを意味します。$A \subseteq \mathbb{Z}$ に対して、$A$が有限集合であることと、有界であることとは同値です。
アカンポの元の定義ではスロープは奇関数に限っていませんが、議論を簡単にするため本記事ではスロープとして奇関数のみを考えます。$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への奇関数$\alpha$に対し、$\alpha$がスロープであることと次は同値になります。
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(m+n)-\alpha(m)-\alpha(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega \tag{1}
\end{equation}
この証明は $m, n, m+n$ の符号で場合分けすることにより簡単に得られます。
次に、スロープの全体$\mathcal{S}$上に加法と乗法の演算を定めます。
加法は関数の和、乗法は関数の合成と、どこかでよく見る演算の定義です。まずはこれらの演算が$\mathcal{S}$で閉じていることを示さなければなりません。
【定理1】演算 $+, \cdot$ は$\mathcal{S}$で閉じている。
（証明）$\alpha, \beta \in \mathcal{S}$ とする。$\alpha + \beta, \alpha \beta$ がともに奇関数であることは明らかである。
\begin{equation*}
E_\alpha = \{ \, \alpha(m+n)-\alpha(m)-\alpha(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}, \ E_\beta = \{ \, \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}
\end{equation*}
とおくと、スロープの定義より $E_\alpha, E_\beta$ は有限集合である。
まず加法について、任意の $m,n \in \mathbb{Z}$ に対し $u \in E_\alpha, v \in E_\beta$ が存在して、
\begin{eqnarray*}
\alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) &=& u \\
\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(n) &=& v
\end{eqnarray*}
とできる。これより
\begin{eqnarray*}
&& (\alpha + \beta)(m+n) - (\alpha + \beta)(m) - (\alpha + \beta)(n) \\
&=& (\alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n)) + (\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(n)) \\
&=& u + v
\end{eqnarray*}
であるから、
\begin{eqnarray*}
&& \left| \{ \, (\alpha + \beta)(m+n)-(\alpha + \beta)(m)-(\alpha + \beta)(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, u + v \, \mid \, u \in E_\alpha, v \in E_\beta \, \} \right| \\
&\le& \left| E_\alpha \right| \times \left| E_\beta \right| < \omega
\end{eqnarray*}
となり、従ってスロープの定義より $\alpha + \beta \in \mathcal{S}$ である。
次に乗法について。任意の $m,n \in \mathbb{Z}$ に対し $u,u' \in E_\alpha, v \in E_\beta$ が存在して、
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m)+\beta(n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) &=& u \\
\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(n) &=& v \\
\alpha(\beta(m)+\beta(n)+v) - \alpha(\beta(m)+\beta(n)) - \alpha(v) &=& u'
\end{eqnarray*}
とできる。これより
\begin{eqnarray*}
&& \alpha \beta(m+n) - \alpha \beta(m) - \alpha \beta(n) \\
&=& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) \\
&=& \alpha(\beta(m)+\beta(n)+v) - \alpha(\beta(m)+\beta(n)) + u \\
&=& \alpha(\beta(m)+\beta(n)) + \alpha(v) + u' - \alpha(\beta(m)+\beta(n)) + u \\
&=& \alpha(v) + u' + u
\end{eqnarray*}
であるから、
\begin{eqnarray*}
&& \left| \{ \, \alpha \beta(m+n)-\alpha \beta(m)-\alpha \beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, \alpha(v) + u' + u \, \mid \, u, u' \in E_\alpha, v \in E_\beta \, \} \right| \\
&\le& \left| E_\beta \right| \times \left| E_\alpha \right| \times \left| E_\alpha \right| < \omega
\end{eqnarray*}
となり、従ってスロープの定義より $\alpha \beta \in \mathcal{S}$ である。□
この演算によって$\mathcal{S}$で成り立つ法則は、次のようになります。
【定理2】$\mathcal{S}$上の演算において、次が成立する。
i) 加法について可換群（加法単位元を$\bar{0}$とかき、$\alpha$の加法逆元を$-\alpha$とかく）
ii) 乗法の結合則 $\quad (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$
iii) 乗法単位元の存在（$\bar{1}$とかく）。
iv) 加法と乗法の右分配則 $\quad (\alpha + \beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$
証明はほとんど明らかなので省略します。加法単位元 $\bar{0}$ は定数値$0$をとる関数であり、乗法単位元 $\bar{1}$ は恒等関数です。$\mathcal{S}$においては、乗法の交換則と、左分配則は一般に成立しないことに注意します。
次に、スロープの一部として「零スロープ」を定義します。
これはつまり、値域が有限集合すなわち有界であるようなスロープのことです。奇関数なので上の条件は$\mathbb{N}$を$\mathbb{Z}$に置き換えても同じです。
こう定めた零スロープの全体$\mathcal{I}$について、次が成り立ちます。
【定理3】$\mathcal{I}$は加法に関して$\mathcal{S}$の部分群であり、さらに
\begin{equation*}
\forall \alpha \in \mathcal{I} \, \forall \beta \in \mathcal{S} \, (\alpha \beta \in \mathcal{I} \land \beta \alpha \in \mathcal{I})
\end{equation*}
が成り立つ。すなわち$\mathcal{I}$は$\mathcal{S}$の両側イデアルである。
（証明）前半は明らかなので後半を示す。$\alpha \in \mathcal{I}, \beta \in \mathcal{S}$ とすると、
\begin{eqnarray*}
\left| \{ \, (\alpha \beta)(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| &=& \left| \{ \, \alpha(\beta(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, \alpha(m) \, \mid \, m \in \mathbb{Z} \, \} \right| \\
&<& \omega
\end{eqnarray*}
であるから$(2)$より $\alpha \beta \in \mathcal{I}$ であり、また
\begin{eqnarray*}
\left| \{ \, (\beta \alpha)(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| &=& \left| \{ \, \beta(\alpha(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| \\
&<& \omega
\end{eqnarray*}
であるから$(2)$より $\beta \alpha \in \mathcal{I}$ である。□
ここで実数の定義です。
このように定義した実数の全体$\mathbb{R}$が、実数体の性質を持つ（完備性をもつ順序体である）ことを証明することが目標です。
(2) 可換環であること
$\mathbb{R}$には次によって自然に加法演算$+$と乗法演算 $\cdot$ が定まります。以下、$\mathbb{R}$において代表元を$\alpha$とする同値類（実数）を $[\alpha]$ で表すこととします。
$\mathcal{S}$が環ならば、環の両側イデアルによる剰余環としてすぐさま$\mathbb{R}$は環になるのですが、$\mathcal{S}$が左分配則をみたさないのですぐにはうまくいきません。でもこれは次の補題によって解決されます。
【補題4】$\alpha, \beta \in \mathcal{S}$ に対して次が成立する。
\begin{equation*}
\alpha \beta - \beta \alpha \in \mathcal{I}
\end{equation*}
この補題は次の補題を用いて証明できます。
【補題5】$\alpha \in \mathcal{S}$ ならば、
\begin{equation*}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, ( \left| \alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) \right| \le M )
\end{equation*}
をみたす $M \in \mathbb{N}$ が存在して、
\begin{equation}
\forall k,n \in \mathbb{Z} \, ( \left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| \le \left| k \right| M ) \tag{3}
\end{equation}
が成り立つ。
（証明）スロープの定義より、条件をみたす $M \in \mathbb{N}$ が存在することは明らかである。この$M$に対して$(3)$を示す。$k \ge 0$ に対しては$k$に関する帰納法で証明する。$k=0$ のときは$\alpha$が奇関数だから明らか。$k$のときに成り立つならば、任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して
\begin{eqnarray*}
\left| \alpha((k+1)n) - (k+1)\alpha(n) \right| &\le& \left| \alpha(kn+n) - \alpha(kn) - \alpha(n) \right| + \left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| \\
&\le& M + kM \\
&=& (k+1)M
\end{eqnarray*}
より、$k+1$のときにも成り立つ。よって帰納法により $k \ge 0$ のときは示された。$k < 0$ のときは、$\alpha$が奇関数だから任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して、
\begin{equation*}
\left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| = \left| -\alpha((-k)n) + (-k)\alpha(n) \right| = \left| \alpha((-k)n) - (-k)\alpha(n) \right| \le (-k)M
\end{equation*}
となるから、$(3)$が成立する。□
（【補題4】の証明）【補題5】より $M_\alpha, M_\beta \in \mathbb{N}$ が存在して、
\begin{equation*}
\forall k,n \in \mathbb{Z} \, ( \left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| \le \left| k \right| M_\alpha \land \left| \beta(kn) - k\beta(n) \right| \le \left| k \right| M_\beta )
\end{equation*}
が成り立つ。これらに対し、$n \in \mathbb{N}_+$ として、
\begin{eqnarray*}
\left| n\alpha(\beta(n)) - \beta(n)\alpha(n) \right| &\le& \left| n\alpha(\beta(n)) - \alpha(n\beta(n)) \right| + \left| \alpha(n\beta(n)) - \beta(n)\alpha(n) \right| \\
&\le& nM_\alpha + \left| \beta(n) \right| M_\alpha \\
&\le& (n + \left| \beta(n) - n\beta(1) \right| + \left| n\beta(1) \right|) M_\alpha \\
&\le& n(1 + M_\beta + \left| \beta(1) \right|) M_\alpha
\end{eqnarray*}
同様に、
\begin{equation*}
\left| n\beta(\alpha(n)) - \alpha(n)\beta(n) \right| \le n(1 + M_\alpha + \left| \alpha(1) \right|) M_\beta
\end{equation*}
これらより、
\begin{eqnarray*}
n \left| \alpha(\beta(n)) - \beta(\alpha(n)) \right| &\le& \left| n\alpha(\beta(n)) - \beta(n)\alpha(n) \right| + \left| \alpha(n)\beta(n) - n\beta(\alpha(n)) \right| \\
&\le& n(1 + M_\beta + \left| \beta(1) \right|) M_\alpha + n(1 + M_\alpha + \left| \alpha(1) \right|) M_\beta
\end{eqnarray*}
$n \ge 1$ だから両辺を$n$で割って、
\begin{equation*}
\left| \alpha(\beta(n)) - \beta(\alpha(n)) \right| \le (1 + M_\beta + \left| \beta(1) \right|) M_\alpha + (1 + M_\alpha + \left| \alpha(1) \right|) M_\beta
\end{equation*}
これより
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(\beta(n)) - \beta(\alpha(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega
\end{equation}
が従うから、$\alpha \beta - \beta \alpha \in \mathcal{I}$ である。□
これで、無事に$\mathbb{R}$が可換環であることを示すことができます。
【定理6】演算 $+, \cdot$ は正しく定義されており、これによって$\mathbb{R}$は可換環となる。
（証明）まず、演算が正しく定義されていることを示す。$\alpha, \alpha', \beta, \beta' \in \mathcal{S}, \alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'$ とする。このとき $\alpha - \alpha' \in \mathcal{I}, \beta - \beta' \in \mathcal{I}$ である。
加法については、$\mathcal{I}$が$\mathcal{S}$の両側イデアルであることより、
\begin{equation*}
(\alpha + \beta) - (\alpha' + \beta') = (\alpha - \alpha') + (\beta - \beta') \in \mathcal{I}
\end{equation*}
となるから正しく定義されている。
乗法については、$\mathcal{I}$が$\mathcal{S}$の両側イデアルであることと【補題4】より、
\begin{eqnarray*}
\alpha \beta - \alpha' \beta' &=& \alpha \beta - \beta \alpha + \beta \alpha - \beta' \alpha + \beta' \alpha - \alpha \beta' + \alpha \beta' - \alpha' \beta' \\
&=& (\alpha \beta - \beta \alpha) + (\beta - \beta') \alpha + (\beta' \alpha - \alpha \beta') + (\alpha - \alpha') \beta' \\
&\in& \mathcal{I}
\end{eqnarray*}
となるから正しく定義されている。
続いて$\mathbb{R}$が可換環となることを示す。演算の定義より、【定理2】で示された$\mathcal{S}$と同じ演算法則が$\mathbb{R}$でも成立する。さらに【補題4】より乗法交換則が成り立ち、従って左分配則も成り立つ。従って$\mathbb{R}$は可換環である。□
これ以降、$\mathbb{R}$の加法単位元を$0$で、乗法単位元を$1$で表します。$\mathbb{Z}$のそれらと同じですが混乱はしないはずです。
$\mathbb{R}$が体であること、すなわち$0$以外の元に対する乗法逆元の存在を示すことは、少し複雑になるので後に回します。
(3) 順序環であること
続いて$\mathbb{R}$に順序を定義し、順序環となることを示します。このため、スロープの一部として「非負スロープ」を定義します。
非負スロープとはつまり、引数と符号が異なる値はたかだか有限個であるようなスロープのことです。
【定理7】$\mathcal{P}$に関して次が成立する。
i) $\alpha \in \mathcal{S} \to \alpha \in \mathcal{P} \lor -\alpha \in \mathcal{P}$
ii) $\alpha \in \mathcal{P} \land -\alpha \in \mathcal{P} \leftrightarrow \alpha \in \mathcal{I}$
iii) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P} \to \alpha + \beta \in \mathcal{P}$
iv) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P} \to \alpha \beta \in \mathcal{P}$
（証明）
はじめに、$-\alpha \in \mathcal{P}$ であるための条件は
\begin{equation*}
\left| \{ \, -\alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land -\alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
であり、これは
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
と同値であることに注意しておく。
i) $\alpha \in \mathcal{S} \land \alpha \notin \mathcal{P} \land -\alpha \notin \mathcal{P}$ と仮定して矛盾を導く。スロープの定義よりある $M \in \mathbb{N}$ が存在して、
\begin{equation*}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, (-M \le \alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) \le M)
\end{equation*}
が成り立つ。一方、仮定より、
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| \ge \omega \ \land \ \left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| \ge \omega \tag{4}
\end{equation}
が成り立つから、$\left| \alpha(p) \right| > M$ をみたす最小の $p \in \mathbb{N}_+$ が存在する。
$\alpha(p) > M$ の場合を考える。任意の $n \in \mathbb{N}_+$ に対し $n=qp+r \quad (q,r \in \mathbb{N} \land 0 \le r < p)$ とすることができて、【補題5】より
\begin{equation*}
\alpha(n) = \alpha(qp+r) \ge \alpha(qp) + \alpha(r) - M \ge q\alpha(p) - qM - M -M \ge -2M
\end{equation*}
となる。これは、
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
を意味するから$(4)$に矛盾する。
$\alpha(p) < -M$ の場合も同様に、任意の $n \in \mathbb{N}_+$ に対し $n=qp+r \quad (q,r \in \mathbb{N} \land 0 \le r < p)$ とすることができて、
\begin{equation*}
\alpha(n) = \alpha(qp+r) \le \alpha(qp) + \alpha(r) + M \le q\alpha(p) + qM + M + M \le 2M
\end{equation*}
となってやはり$(4)$に矛盾するから、仮定が誤りである。
ii) $\alpha \in \mathcal{P} \land -\alpha \in \mathcal{P}$ とすると、
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega \land \left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
である。これより
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
が成り立つから、$\alpha \in \mathcal{I}$ である。逆は明らか。
iii) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P}$ とすると、ある $M \in \mathbb{N}$ が存在して
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-M \le \alpha(n) \land -M \le \beta(n))
\end{equation*}
が成り立つ。これより
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-2M \le \alpha(n) + \beta(n))
\end{equation*}
となるから $\alpha + \beta \in \mathcal{P}$ である。
iv) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P}$ とすると、同様にある $M \in \mathbb{N}$ が存在して
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-M \le \alpha(n) \land -M \le \beta(n))
\end{equation*}
が成り立つ。このとき、
\begin{equation*}
\{ \, \alpha(\beta(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land -M \le \beta(n) < 0 \, \}
\end{equation*}
は有限集合だから、最小値$N$がとれる。従って、
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (\min \{ -M, N \} \le \alpha(\beta(n)))
\end{equation*}
が成り立ち、従って $\alpha \beta \in \mathcal{P}$ である。□
この$\mathcal{P}$を用いて、$\mathbb{R}$に順序関係を定義します。
【定理8】関係$\le$は正しく定義されており、これによって$\mathbb{R}$は順序環になる。すなわち任意の $a,b,c \in \mathbb{R}$ に対して次が成立する。
i) $a \le a$
ii) $a \le b \land b \le a \to a = b$
iii) $a \le b \land b \le c \to a \le c$
iv) $a \le b \lor b \le a$
v) $a \le b \to a + c \le b + c$
vi) $a \ge 0 \land b \ge 0 \to ab \ge 0$
この証明は【定理7】を使えば機械的にできますので、省略します。以上で$\mathbb{R}$が順序環であることが示されました。
(4) 順序体であることとアルキメデス性
この段階で、$\mathbb{R}$が体になることを証明します。少し長くなりますが、スロープの正負の性質や【補題5】を使って、乗法逆元のもとになるスロープを構成します。
【定理9】$\mathbb{R}$は体である。すなわち任意の $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$ に対して乗法逆元 $a^{-1}$ が存在する。
（証明）$a > 0$ のときに証明できれば、$a < 0$ のときは $(-a)^{-1}$ が存在して $a(-(-a)^{-1}) = (-a)(-a)^{-1} = 1$ となるから、$a \neq 0$ に対する証明が終わる。よって以下 $a > 0$ とする。
$a = [\alpha], \alpha \in \mathcal{S}$ とすると、$\lnot (a \le 0)$ より $-\alpha \notin \mathcal{P}$ であり、これより
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| \ge \omega \tag{5}
\end{equation}
が従う。これは左辺の集合が上に有界でないことを意味するから、$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への関数 $\beta$ として
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, ( \beta(n) = \min \{ \, k \in \mathbb{N} \, \mid \, \alpha(k) > n \, \} - 1 )
\end{equation*}
をみたす奇関数が作れて、
\begin{equation}
\forall n \in \mathbb{N} \, ( \alpha(\beta(n)) \le n < \alpha(\beta(n)+1) ) \tag{6}
\end{equation}
が成り立つ。一方$\alpha$がスロープだから、ある $M \in \mathbb{N}$ が存在して
\begin{equation}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, (-M \le \alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) \le M) \tag{7}
\end{equation}
をみたす。これと$(6)$より任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して
\begin{equation*}
\alpha(\beta(n)) \le n < \alpha(\beta(n)+1) \le \alpha(\beta(n)) + \alpha(1) + M
\end{equation*}
これより
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-\alpha(1) - M < \alpha(\beta(n)) - n \le 0)
\end{equation*}
が成り立ち、$\alpha, \beta$ とも奇関数だから、
\begin{equation}
\forall n \in \mathbb{Z} \, (-\alpha(1) - M < \alpha(\beta(n)) - n < \alpha(1) + M) \tag{8}
\end{equation}
が成り立つ。ここで $\beta$ がスロープであることが示されれば、$b = [\beta]$ として実数$b$を定めると、$(8)$より
\begin{equation*}
\alpha \beta - \bar{1} \in \mathcal{I}
\end{equation*}
が成り立つから、$ab = 1$ すなわち$b$は$a$の乗法逆元であることが示されて証明が終わる。そこで以下 $\beta$ がスロープであることを示す。このためには
\begin{equation*}
E_\beta = \{ \, \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}
\end{equation*}
で定まる $E_\beta$ が有界であることを示せばよい。
任意の $m,n \in \mathbb{Z}$ に対して、$(7)$と$(8)$より
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(m)) &\le& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m) + \beta(n)) + M \\
&\le& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) + 2M \\
&<& (m+n) -m -n + 3\alpha(1) + 5M \\
&=& 3\alpha(1) + 5M
\end{eqnarray*}
であり、同様に
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(m)) &\ge& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m) + \beta(n)) - M \\
&\ge& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) - 2M \\
&>& (m+n) - m - n - 3\alpha(1) - 5M \\
&=& - 3\alpha(1) - 5M
\end{eqnarray*}
であるから、$N \ge 3\alpha(1) + 5M$ をみたす $N \in \mathbb{N}_+$ をとると、
\begin{equation}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, (-N \le \alpha(\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(m)) \le N) \tag{9}
\end{equation}
が成り立つ。
ここで $E_\beta$ が上に有界でないと仮定すると、$(5)$より $\alpha(p) > M + N$ をみたす $p \in \mathbb{N}$ が存在するから、これに対して
\begin{equation*}
L = \min \{ \, \alpha(r) \, \mid \, r \in \mathbb{Z}, 0 \le r < p \, \}
\end{equation*}
とおくと、仮定より $qN \ge N - L + M$ となるような十分大きな $q \in \mathbb{Z}, q > 0$ に対して
\begin{equation*}
\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) = qp + r \quad (0 \le r < p)
\end{equation*}
とかけるような $m,n \in \mathbb{Z}$ が存在する。このとき【補題5】より
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n)) &=& \alpha(qp+r) \\
&\ge& \alpha(qp) + \alpha(r) - M \\
&\ge& \alpha(qp) + L - M \\
&\ge& q\alpha(p) - qM + L - M \\
&>& qN + L - M\\
&\ge& N
\end{eqnarray*}
より$(9)$と矛盾する。
$E_\beta$ が下に有界でないと仮定すると、$p$を同じものとして、
\begin{equation*}
L = \max \{ \, \alpha(r) \, \mid \, r \in \mathbb{Z}, -p < r \le 0 \, \}
\end{equation*}
とおくと、仮定より $qN \le -N - L - M$ となるような十分小さな $q \in \mathbb{Z}, q < 0$ に対して
\begin{equation*}
\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) = qp + r \quad (-p < r \le 0)
\end{equation*}
とかけるような $m,n \in \mathbb{Z}$ が存在する。同様に（ $q < 0$ に注意して）、
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n)) &=& \alpha(qp+r) \\
&\le& \alpha(qp) + \alpha(r) + M \\
&\le& \alpha(qp) + L + M \\
&\le& q\alpha(p) - qM + L + M \\
&<& qN + L + M\\
&\le& -N
\end{eqnarray*}
より、やはり$(9)$と矛盾する。
以上より $E_\beta$ は有界集合であり、従って$\beta$はスロープである。以上で証明は完了した。□
$\mathbb{R}$が順序体であることが示されたので、これは次の手順によって$\mathbb{Q}$と同型な順序体を含むことがわかります。任意の $j \in \mathbb{Z}$ に対して、
\begin{equation}
\bar{j}(n) = jn
\end{equation}
で定まる$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への関数 $\bar{j}$ はスロープであり、整数$j$に同値類 $[\bar{j}]$ を対応させる写像によって$\mathbb{Z}$は$\mathbb{R}$に埋め込まれます。以下$j$と $[\bar{j}]$ を同一視し$\mathbb{Z}$を$\mathbb{R}$の部分順序環とみなします。さらに$\mathbb{R}$における $j \in \mathbb{Z}, j \neq 0$ の乗法逆元を考えることにより、$\mathbb{R}$の部分順序体としての有理数体$\mathbb{Q}$を構成することができます。
続いて、$\mathbb{R}$がアルキメデス的順序体であることを示します。
【補題10】$a \in \mathbb{R}$ ならば、$j > a$ をみたす $j \in \mathbb{N}_+$ が存在する。
（証明）$a = [\alpha]$ とする。【補題5】より
\begin{equation*}
\forall k \in \mathbb{N}_+ \, ( \left| \alpha(k) - k\alpha(1) \right| < kM )
\end{equation*}
となる $M \in \mathbb{N}_+$ がとれる。$i > \alpha(1) + M$ となる $i \in \mathbb{N}_+$ をとると、任意の $k \in \mathbb{N}_+$ に対し、
\begin{equation*}
\alpha(k) < k(\alpha(1) + M) < ik
\end{equation*}
であるから $\bar{i} - \alpha \in \mathcal{P}$ より $a \le i$ であり、$j = i+1$ とおくと $a < j$ である。□
【定理11】順序体$\mathbb{R}$はアルキメデス的である。すなわち次が成り立つ。
\begin{equation*}
\forall a,b \in \mathbb{R} \, (a > 0 \to \exists j \in \mathbb{N} \, (ja > b))
\end{equation*}
（証明）任意に $a,b \in \mathbb{R} \ (a > 0)$ をとる。【補題10】より $b/a < j $ をみたす $j \in \mathbb{N}$ がとれ、これに対して $ja > b$ が成り立つ。□
アルキメデス的順序体で次が成立することは一般論です。
【定理12】$\mathbb{Q}$は$\mathbb{R}$において稠密である。すなわち次が成り立つ。
\begin{equation*}
\forall a,b \in \mathbb{R} \, (a < b \to \exists c \in \mathbb{Q} \, (a < c < b))
\end{equation*}
従って、特に$\mathbb{R}$は自己稠密である。
（証明）任意に $a < b$ をみたす $a,b \in \mathbb{R}$ をとる。【定理11】より $1 < j(b - a) $ をみたす $j \in \mathbb{N}_+$ がとれ、これに対して $1/j < b - a$ である。さらに【補題10】より $ja < i$ となる最小の $i \in \mathbb{Z}$ がとれるから、$i - 1 \le ja$ より、
\begin{equation*}
i/j \le a + 1/j < a + (b - a) = b
\end{equation*}
よって $a < i/j < b$ かつ $i/j \in \mathbb{Q}$ となるから、$\mathbb{Q}$は$\mathbb{R}$において稠密である。□
以上で、$\mathbb{R}$がアルキメデス的順序体であることと、$\mathbb{R}$における$\mathbb{Q}$の稠密性が示されました。$\mathbb{R}$が完備であることの証明にはこれらの事実を使います。
(5) 完備性
最後にいよいよ$\mathbb{R}$の完備性の証明です。$\mathbb{R}$に埋め込まれた$\mathbb{Z}$を使ってスロープを構成し、それを用いて上限の存在を証明する、という少々チートな方法を使います。
【定理13】順序環$\mathbb{R}$は完備である。すなわち$\mathbb{R}$の空でなく上に有界な部分集合は上限をもつ。
（証明）$A$を空でなく上に有界な$\mathbb{R}$の部分集合とする。【定理11】より$\mathbb{R}$はアルキメデス的だから、$A$はある $M \in \mathbb{Z}$ を上界にもつとしてよい。この$M$に対し、
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, \forall a \in A \, (an \le Mn)
\end{equation*}
が成り立つ。そこで、$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への関数$\beta$を
\begin{equation*}
\beta(n) = \min \{ \, k \in \mathbb{Z} \, \mid \, \forall a \in A \, (an \le k) \, \} \quad (n \in \mathbb{N})
\end{equation*}
をみたす奇関数として定める（$n=0$ のときは右辺が$0$になるから問題ない）。
$\beta$がスロープであること、すなわち
\begin{equation}
\left| \{ \, \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega \tag{10}
\end{equation}
を示す。任意に $m,n \in \mathbb{N}$ をとる。$\beta$の定義より、
\begin{equation*}
\beta(m) - 1 < a_1m, \quad \beta(n) - 1 < a_2n, \quad \beta(m+n) - 1 < a_3(m+n)
\end{equation*}
をみたす $a_1, a_2, a_3 \in A$ がある。$a = \max \{ \, a_1, a_2, a_3 \, \}$ とすると、
\begin{equation*}
am \le \beta(m) < am + 1, \quad an \le \beta(n) < an + 1, \quad a(m+n) \le \beta(m+n) < a(m+n) + 1
\end{equation*}
であるから、
\begin{equation*}
-2 < \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) < 1
\end{equation*}
となり、従って$(10)$が成り立つから$\beta$はスロープである。$b = [\beta]$ として実数$b$を定め、これが$A$の上限であることを示す。
ある $a \in A$ が $b < a$ をみたすと仮定して矛盾を導く。【定理12】より$\mathbb{Q}$が$\mathbb{R}$において稠密だから、
\begin{equation*}
b < i/j < a \quad (i \in \mathbb{Z}, j \in \mathbb{N}_+)
\end{equation*}
をみたす $i,j$ がとれる。$bj < i$ すなわち $\lnot (bj \ge i)$ だから $\beta \bar{j} - \bar{i} \notin \mathcal{P}$ であり、よって
\begin{equation*}
\beta(\bar{j}(n)) - \bar{i}(n) < 0
\end{equation*}
となる $n \in \mathbb{N}_+$ が存在し、この$n$に対して $\beta(jn) < in$ である。一方で $i < aj$ より
\begin{equation*}
\beta(jn) < in < ajn
\end{equation*}
が成り立ち、$jn \in \mathbb{N}_+$ だから、これは$\beta$の作り方に矛盾する。従って $b$ は $A$の上界である。
次に、$A$の上界$c$で $c < b$ となるものが存在すると仮定して矛盾を導く。先と同様に、
\begin{equation*}
c < i/j < b \quad (i \in \mathbb{Z}, j \in \mathbb{N}_+)
\end{equation*}
をみたす $i,j$ がとれる。$i < bj$ だから先と同様の議論によって $in < \beta(jn)$ となる $n \in \mathbb{N}_+$ が存在する。この$n$に対して、任意に $a \in A$ をとると $a \le c < i/j$ より $aj < i$ であるから、
\begin{equation*}
ajn < in < \beta(jn)
\end{equation*}
となり、$in \in \mathbb{Z}$ だからやはり$\beta$の作り方に矛盾する。従ってこのような$c$は存在せず、$b$は$A$の上限である。
以上で$\mathbb{R}$が完備であることが示された。□
$A$の上限 $b = [\beta]$ の作り方が、わりと自然な発想になっていることがわかると思います。以上で$\mathbb{R}$は完備性をもつ順序体であること、すなわち実数体の性質を全て持つことの証明がこれで完了しました。
アカンポの実数論は、$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Q}$を介さずに$\mathbb{R}$が構成でき、演算や順序の定義が自然であるという特徴をもつ、画期的な構成法です。本記事ではそれを自分なりにアレンジし、構成法も以前記事にした「形式的冪級数を用いた実数体の構成法について」とよく似た流れになって、理解しやすくなったと思います。
（追記）2021/2/14
乗法逆元の存在の証明に関する部分を大幅に修正しました。
とはいっても、オリジナルのペーパーに載っている実数体の各性質の証明は、僕にとってはちょっと細かいテクニックが多くて難解だったので、アカンポのアイデアだけパクり、証明は自分なりのやり方で組んでみました。結果、「イデアルによる同値類」など馴染みのある手法を使って構成できて、もっとも面倒な完備性の証明も割と理解しやすいものになったと思います。少々長いですが、以下順を追って説明します。
(1) $\mathbb{R}$の構成
$\mathbb{N}$を0を含む自然数の全体、$\mathbb{Z}$を整数の全体とし、これらの性質は既知とします。また、$\mathbb{N}_+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ とします。
最初に次の定義をおきます。
【定義1】$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への奇関数$\alpha$について、集合
\begin{equation*}
\{ \, \alpha(m+n)-\alpha(m)-\alpha(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}
\end{equation*}
が有限、すなわち
\begin{equation} \label{equ:スロープ}
\left| \{ \, \alpha(m+n)-\alpha(m)-\alpha(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \} \right| < \omega
\end{equation}
をみたすとき、スロープと呼ぶ。スロープの全体を$\mathcal{S}$とおく。
ここで$\omega$は最小の無限基数を表します。従って、集合$A$に対して $\left| A \right| < \omega$ とは$A$が有限集合であることを意味し、また、$\left| A \right| \ge \omega$ とは$A$が無限集合であることを意味します。$A \subseteq \mathbb{Z}$ に対して、$A$が有限集合であることと、有界であることとは同値です。
アカンポの元の定義ではスロープは奇関数に限っていませんが、議論を簡単にするため本記事ではスロープとして奇関数のみを考えます。$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への奇関数$\alpha$に対し、$\alpha$がスロープであることと次は同値になります。
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(m+n)-\alpha(m)-\alpha(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega \tag{1}
\end{equation}
この証明は $m, n, m+n$ の符号で場合分けすることにより簡単に得られます。
次に、スロープの全体$\mathcal{S}$上に加法と乗法の演算を定めます。
【定義2】$\alpha, \beta \in \mathcal{S}$ に対し、
\begin{equation*}
(\alpha + \beta)(n) = \alpha(n) + \beta(n)
\end{equation*}
によって$\mathcal{S}$上の加法演算$+$を定める。また、
\begin{equation*}
(\alpha \cdot \beta)(n) = \alpha(\beta(n))
\end{equation*}
によって$\mathcal{S}$上の乗法演算$\cdot$を定める。乗法演算記号は通常省略する。
加法は関数の和、乗法は関数の合成と、どこかでよく見る演算の定義です。まずはこれらの演算が$\mathcal{S}$で閉じていることを示さなければなりません。
【定理1】演算 $+, \cdot$ は$\mathcal{S}$で閉じている。
（証明）$\alpha, \beta \in \mathcal{S}$ とする。$\alpha + \beta, \alpha \beta$ がともに奇関数であることは明らかである。
\begin{equation*}
E_\alpha = \{ \, \alpha(m+n)-\alpha(m)-\alpha(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}, \ E_\beta = \{ \, \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}
\end{equation*}
とおくと、スロープの定義より $E_\alpha, E_\beta$ は有限集合である。
まず加法について、任意の $m,n \in \mathbb{Z}$ に対し $u \in E_\alpha, v \in E_\beta$ が存在して、
\begin{eqnarray*}
\alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) &=& u \\
\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(n) &=& v
\end{eqnarray*}
とできる。これより
\begin{eqnarray*}
&& (\alpha + \beta)(m+n) - (\alpha + \beta)(m) - (\alpha + \beta)(n) \\
&=& (\alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n)) + (\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(n)) \\
&=& u + v
\end{eqnarray*}
であるから、
\begin{eqnarray*}
&& \left| \{ \, (\alpha + \beta)(m+n)-(\alpha + \beta)(m)-(\alpha + \beta)(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, u + v \, \mid \, u \in E_\alpha, v \in E_\beta \, \} \right| \\
&\le& \left| E_\alpha \right| \times \left| E_\beta \right| < \omega
\end{eqnarray*}
となり、従ってスロープの定義より $\alpha + \beta \in \mathcal{S}$ である。
次に乗法について。任意の $m,n \in \mathbb{Z}$ に対し $u,u' \in E_\alpha, v \in E_\beta$ が存在して、
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m)+\beta(n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) &=& u \\
\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(n) &=& v \\
\alpha(\beta(m)+\beta(n)+v) - \alpha(\beta(m)+\beta(n)) - \alpha(v) &=& u'
\end{eqnarray*}
とできる。これより
\begin{eqnarray*}
&& \alpha \beta(m+n) - \alpha \beta(m) - \alpha \beta(n) \\
&=& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) \\
&=& \alpha(\beta(m)+\beta(n)+v) - \alpha(\beta(m)+\beta(n)) + u \\
&=& \alpha(\beta(m)+\beta(n)) + \alpha(v) + u' - \alpha(\beta(m)+\beta(n)) + u \\
&=& \alpha(v) + u' + u
\end{eqnarray*}
であるから、
\begin{eqnarray*}
&& \left| \{ \, \alpha \beta(m+n)-\alpha \beta(m)-\alpha \beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, \alpha(v) + u' + u \, \mid \, u, u' \in E_\alpha, v \in E_\beta \, \} \right| \\
&\le& \left| E_\beta \right| \times \left| E_\alpha \right| \times \left| E_\alpha \right| < \omega
\end{eqnarray*}
となり、従ってスロープの定義より $\alpha \beta \in \mathcal{S}$ である。□
この演算によって$\mathcal{S}$で成り立つ法則は、次のようになります。
【定理2】$\mathcal{S}$上の演算において、次が成立する。
i) 加法について可換群（加法単位元を$\bar{0}$とかき、$\alpha$の加法逆元を$-\alpha$とかく）
ii) 乗法の結合則 $\quad (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$
iii) 乗法単位元の存在（$\bar{1}$とかく）。
iv) 加法と乗法の右分配則 $\quad (\alpha + \beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$
証明はほとんど明らかなので省略します。加法単位元 $\bar{0}$ は定数値$0$をとる関数であり、乗法単位元 $\bar{1}$ は恒等関数です。$\mathcal{S}$においては、乗法の交換則と、左分配則は一般に成立しないことに注意します。
次に、スロープの一部として「零スロープ」を定義します。
【定義3】$\alpha \in \mathcal{S}$ のうち
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega \tag{2}
\end{equation}
をみたすものを零スロープと呼び、その全体を$\mathcal{I}$とおく。
これはつまり、値域が有限集合すなわち有界であるようなスロープのことです。奇関数なので上の条件は$\mathbb{N}$を$\mathbb{Z}$に置き換えても同じです。
こう定めた零スロープの全体$\mathcal{I}$について、次が成り立ちます。
【定理3】$\mathcal{I}$は加法に関して$\mathcal{S}$の部分群であり、さらに
\begin{equation*}
\forall \alpha \in \mathcal{I} \, \forall \beta \in \mathcal{S} \, (\alpha \beta \in \mathcal{I} \land \beta \alpha \in \mathcal{I})
\end{equation*}
が成り立つ。すなわち$\mathcal{I}$は$\mathcal{S}$の両側イデアルである。
（証明）前半は明らかなので後半を示す。$\alpha \in \mathcal{I}, \beta \in \mathcal{S}$ とすると、
\begin{eqnarray*}
\left| \{ \, (\alpha \beta)(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| &=& \left| \{ \, \alpha(\beta(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, \alpha(m) \, \mid \, m \in \mathbb{Z} \, \} \right| \\
&<& \omega
\end{eqnarray*}
であるから$(2)$より $\alpha \beta \in \mathcal{I}$ であり、また
\begin{eqnarray*}
\left| \{ \, (\beta \alpha)(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| &=& \left| \{ \, \beta(\alpha(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| \\
&\le& \left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| \\
&<& \omega
\end{eqnarray*}
であるから$(2)$より $\beta \alpha \in \mathcal{I}$ である。□
ここで実数の定義です。
【定義4】$\alpha, \alpha' \in \mathcal{S}$ に対し、
\begin{equation*}
\alpha \sim \alpha' \quad \Leftrightarrow \quad \alpha - \alpha' \in \mathcal{I}
\end{equation*}
によって$\mathcal{S}$上の関係 $\sim$ を定める。これは明らかに同値関係だから、$\mathcal{S}$の $\sim$ による同値類を実数と呼び、その全体を$\mathbb{R}$とかく。
このように定義した実数の全体$\mathbb{R}$が、実数体の性質を持つ（完備性をもつ順序体である）ことを証明することが目標です。
(2) 可換環であること
$\mathbb{R}$には次によって自然に加法演算$+$と乗法演算 $\cdot$ が定まります。以下、$\mathbb{R}$において代表元を$\alpha$とする同値類（実数）を $[\alpha]$ で表すこととします。
【定義5】$a,b \in \mathbb{R}, a=[\alpha], b=[\beta] \ (\alpha, \beta \in \mathcal{S})$ に対し、次によって加法演算と乗法演算を定める。
\begin{eqnarray*}
a+b &=& [\alpha + \beta] \\
a \cdot b &=& [\alpha \cdot \beta]
\end{eqnarray*}
乗法演算記号は通常省略する。
$\mathcal{S}$が環ならば、環の両側イデアルによる剰余環としてすぐさま$\mathbb{R}$は環になるのですが、$\mathcal{S}$が左分配則をみたさないのですぐにはうまくいきません。でもこれは次の補題によって解決されます。
【補題4】$\alpha, \beta \in \mathcal{S}$ に対して次が成立する。
\begin{equation*}
\alpha \beta - \beta \alpha \in \mathcal{I}
\end{equation*}
この補題は次の補題を用いて証明できます。
【補題5】$\alpha \in \mathcal{S}$ ならば、
\begin{equation*}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, ( \left| \alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) \right| \le M )
\end{equation*}
をみたす $M \in \mathbb{N}$ が存在して、
\begin{equation}
\forall k,n \in \mathbb{Z} \, ( \left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| \le \left| k \right| M ) \tag{3}
\end{equation}
が成り立つ。
（証明）スロープの定義より、条件をみたす $M \in \mathbb{N}$ が存在することは明らかである。この$M$に対して$(3)$を示す。$k \ge 0$ に対しては$k$に関する帰納法で証明する。$k=0$ のときは$\alpha$が奇関数だから明らか。$k$のときに成り立つならば、任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して
\begin{eqnarray*}
\left| \alpha((k+1)n) - (k+1)\alpha(n) \right| &\le& \left| \alpha(kn+n) - \alpha(kn) - \alpha(n) \right| + \left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| \\
&\le& M + kM \\
&=& (k+1)M
\end{eqnarray*}
より、$k+1$のときにも成り立つ。よって帰納法により $k \ge 0$ のときは示された。$k < 0$ のときは、$\alpha$が奇関数だから任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して、
\begin{equation*}
\left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| = \left| -\alpha((-k)n) + (-k)\alpha(n) \right| = \left| \alpha((-k)n) - (-k)\alpha(n) \right| \le (-k)M
\end{equation*}
となるから、$(3)$が成立する。□
（【補題4】の証明）【補題5】より $M_\alpha, M_\beta \in \mathbb{N}$ が存在して、
\begin{equation*}
\forall k,n \in \mathbb{Z} \, ( \left| \alpha(kn) - k\alpha(n) \right| \le \left| k \right| M_\alpha \land \left| \beta(kn) - k\beta(n) \right| \le \left| k \right| M_\beta )
\end{equation*}
が成り立つ。これらに対し、$n \in \mathbb{N}_+$ として、
\begin{eqnarray*}
\left| n\alpha(\beta(n)) - \beta(n)\alpha(n) \right| &\le& \left| n\alpha(\beta(n)) - \alpha(n\beta(n)) \right| + \left| \alpha(n\beta(n)) - \beta(n)\alpha(n) \right| \\
&\le& nM_\alpha + \left| \beta(n) \right| M_\alpha \\
&\le& (n + \left| \beta(n) - n\beta(1) \right| + \left| n\beta(1) \right|) M_\alpha \\
&\le& n(1 + M_\beta + \left| \beta(1) \right|) M_\alpha
\end{eqnarray*}
同様に、
\begin{equation*}
\left| n\beta(\alpha(n)) - \alpha(n)\beta(n) \right| \le n(1 + M_\alpha + \left| \alpha(1) \right|) M_\beta
\end{equation*}
これらより、
\begin{eqnarray*}
n \left| \alpha(\beta(n)) - \beta(\alpha(n)) \right| &\le& \left| n\alpha(\beta(n)) - \beta(n)\alpha(n) \right| + \left| \alpha(n)\beta(n) - n\beta(\alpha(n)) \right| \\
&\le& n(1 + M_\beta + \left| \beta(1) \right|) M_\alpha + n(1 + M_\alpha + \left| \alpha(1) \right|) M_\beta
\end{eqnarray*}
$n \ge 1$ だから両辺を$n$で割って、
\begin{equation*}
\left| \alpha(\beta(n)) - \beta(\alpha(n)) \right| \le (1 + M_\beta + \left| \beta(1) \right|) M_\alpha + (1 + M_\alpha + \left| \alpha(1) \right|) M_\beta
\end{equation*}
これより
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(\beta(n)) - \beta(\alpha(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega
\end{equation}
が従うから、$\alpha \beta - \beta \alpha \in \mathcal{I}$ である。□
これで、無事に$\mathbb{R}$が可換環であることを示すことができます。
【定理6】演算 $+, \cdot$ は正しく定義されており、これによって$\mathbb{R}$は可換環となる。
（証明）まず、演算が正しく定義されていることを示す。$\alpha, \alpha', \beta, \beta' \in \mathcal{S}, \alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'$ とする。このとき $\alpha - \alpha' \in \mathcal{I}, \beta - \beta' \in \mathcal{I}$ である。
加法については、$\mathcal{I}$が$\mathcal{S}$の両側イデアルであることより、
\begin{equation*}
(\alpha + \beta) - (\alpha' + \beta') = (\alpha - \alpha') + (\beta - \beta') \in \mathcal{I}
\end{equation*}
となるから正しく定義されている。
乗法については、$\mathcal{I}$が$\mathcal{S}$の両側イデアルであることと【補題4】より、
\begin{eqnarray*}
\alpha \beta - \alpha' \beta' &=& \alpha \beta - \beta \alpha + \beta \alpha - \beta' \alpha + \beta' \alpha - \alpha \beta' + \alpha \beta' - \alpha' \beta' \\
&=& (\alpha \beta - \beta \alpha) + (\beta - \beta') \alpha + (\beta' \alpha - \alpha \beta') + (\alpha - \alpha') \beta' \\
&\in& \mathcal{I}
\end{eqnarray*}
となるから正しく定義されている。
続いて$\mathbb{R}$が可換環となることを示す。演算の定義より、【定理2】で示された$\mathcal{S}$と同じ演算法則が$\mathbb{R}$でも成立する。さらに【補題4】より乗法交換則が成り立ち、従って左分配則も成り立つ。従って$\mathbb{R}$は可換環である。□
これ以降、$\mathbb{R}$の加法単位元を$0$で、乗法単位元を$1$で表します。$\mathbb{Z}$のそれらと同じですが混乱はしないはずです。
$\mathbb{R}$が体であること、すなわち$0$以外の元に対する乗法逆元の存在を示すことは、少し複雑になるので後に回します。
(3) 順序環であること
続いて$\mathbb{R}$に順序を定義し、順序環となることを示します。このため、スロープの一部として「非負スロープ」を定義します。
【定義6】$\alpha \in \mathcal{S}$ のうち
\begin{equation} \label{equ:非負スロープ}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation}
をみたすものを非負スロープと呼び、その全体を$\mathcal{P}$とおく。
非負スロープとはつまり、引数と符号が異なる値はたかだか有限個であるようなスロープのことです。
【定理7】$\mathcal{P}$に関して次が成立する。
i) $\alpha \in \mathcal{S} \to \alpha \in \mathcal{P} \lor -\alpha \in \mathcal{P}$
ii) $\alpha \in \mathcal{P} \land -\alpha \in \mathcal{P} \leftrightarrow \alpha \in \mathcal{I}$
iii) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P} \to \alpha + \beta \in \mathcal{P}$
iv) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P} \to \alpha \beta \in \mathcal{P}$
（証明）
はじめに、$-\alpha \in \mathcal{P}$ であるための条件は
\begin{equation*}
\left| \{ \, -\alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land -\alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
であり、これは
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
と同値であることに注意しておく。
i) $\alpha \in \mathcal{S} \land \alpha \notin \mathcal{P} \land -\alpha \notin \mathcal{P}$ と仮定して矛盾を導く。スロープの定義よりある $M \in \mathbb{N}$ が存在して、
\begin{equation*}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, (-M \le \alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) \le M)
\end{equation*}
が成り立つ。一方、仮定より、
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| \ge \omega \ \land \ \left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| \ge \omega \tag{4}
\end{equation}
が成り立つから、$\left| \alpha(p) \right| > M$ をみたす最小の $p \in \mathbb{N}_+$ が存在する。
$\alpha(p) > M$ の場合を考える。任意の $n \in \mathbb{N}_+$ に対し $n=qp+r \quad (q,r \in \mathbb{N} \land 0 \le r < p)$ とすることができて、【補題5】より
\begin{equation*}
\alpha(n) = \alpha(qp+r) \ge \alpha(qp) + \alpha(r) - M \ge q\alpha(p) - qM - M -M \ge -2M
\end{equation*}
となる。これは、
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
を意味するから$(4)$に矛盾する。
$\alpha(p) < -M$ の場合も同様に、任意の $n \in \mathbb{N}_+$ に対し $n=qp+r \quad (q,r \in \mathbb{N} \land 0 \le r < p)$ とすることができて、
\begin{equation*}
\alpha(n) = \alpha(qp+r) \le \alpha(qp) + \alpha(r) + M \le q\alpha(p) + qM + M + M \le 2M
\end{equation*}
となってやはり$(4)$に矛盾するから、仮定が誤りである。
ii) $\alpha \in \mathcal{P} \land -\alpha \in \mathcal{P}$ とすると、
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) < 0 \, \} \right| < \omega \land \left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
である。これより
\begin{equation*}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega
\end{equation*}
が成り立つから、$\alpha \in \mathcal{I}$ である。逆は明らか。
iii) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P}$ とすると、ある $M \in \mathbb{N}$ が存在して
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-M \le \alpha(n) \land -M \le \beta(n))
\end{equation*}
が成り立つ。これより
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-2M \le \alpha(n) + \beta(n))
\end{equation*}
となるから $\alpha + \beta \in \mathcal{P}$ である。
iv) $\alpha \in \mathcal{P} \land \beta \in \mathcal{P}$ とすると、同様にある $M \in \mathbb{N}$ が存在して
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-M \le \alpha(n) \land -M \le \beta(n))
\end{equation*}
が成り立つ。このとき、
\begin{equation*}
\{ \, \alpha(\beta(n)) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land -M \le \beta(n) < 0 \, \}
\end{equation*}
は有限集合だから、最小値$N$がとれる。従って、
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (\min \{ -M, N \} \le \alpha(\beta(n)))
\end{equation*}
が成り立ち、従って $\alpha \beta \in \mathcal{P}$ である。□
この$\mathcal{P}$を用いて、$\mathbb{R}$に順序関係を定義します。
【定義7】$a,b \in \mathbb{R}, a=[\alpha], b=[\beta] \ (\alpha, \beta \in \mathcal{S})$ に対し、次によって関係 $a \le b$ を定める。
\begin{equation*}
a \le b \ \Leftrightarrow \ \beta - \alpha \in \mathcal{P}
\end{equation*}
また、関係 $\ge, <, >$ は $\le$ を元に周知の通り定まるものとする。
【定理8】関係$\le$は正しく定義されており、これによって$\mathbb{R}$は順序環になる。すなわち任意の $a,b,c \in \mathbb{R}$ に対して次が成立する。
i) $a \le a$
ii) $a \le b \land b \le a \to a = b$
iii) $a \le b \land b \le c \to a \le c$
iv) $a \le b \lor b \le a$
v) $a \le b \to a + c \le b + c$
vi) $a \ge 0 \land b \ge 0 \to ab \ge 0$
この証明は【定理7】を使えば機械的にできますので、省略します。以上で$\mathbb{R}$が順序環であることが示されました。
(4) 順序体であることとアルキメデス性
この段階で、$\mathbb{R}$が体になることを証明します。少し長くなりますが、スロープの正負の性質や【補題5】を使って、乗法逆元のもとになるスロープを構成します。
【定理9】$\mathbb{R}$は体である。すなわち任意の $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$ に対して乗法逆元 $a^{-1}$ が存在する。
（証明）$a > 0$ のときに証明できれば、$a < 0$ のときは $(-a)^{-1}$ が存在して $a(-(-a)^{-1}) = (-a)(-a)^{-1} = 1$ となるから、$a \neq 0$ に対する証明が終わる。よって以下 $a > 0$ とする。
$a = [\alpha], \alpha \in \mathcal{S}$ とすると、$\lnot (a \le 0)$ より $-\alpha \notin \mathcal{P}$ であり、これより
\begin{equation}
\left| \{ \, \alpha(n) \, \mid \, n \in \mathbb{N} \land \alpha(n) > 0 \, \} \right| \ge \omega \tag{5}
\end{equation}
が従う。これは左辺の集合が上に有界でないことを意味するから、$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への関数 $\beta$ として
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, ( \beta(n) = \min \{ \, k \in \mathbb{N} \, \mid \, \alpha(k) > n \, \} - 1 )
\end{equation*}
をみたす奇関数が作れて、
\begin{equation}
\forall n \in \mathbb{N} \, ( \alpha(\beta(n)) \le n < \alpha(\beta(n)+1) ) \tag{6}
\end{equation}
が成り立つ。一方$\alpha$がスロープだから、ある $M \in \mathbb{N}$ が存在して
\begin{equation}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, (-M \le \alpha(m+n) - \alpha(m) - \alpha(n) \le M) \tag{7}
\end{equation}
をみたす。これと$(6)$より任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して
\begin{equation*}
\alpha(\beta(n)) \le n < \alpha(\beta(n)+1) \le \alpha(\beta(n)) + \alpha(1) + M
\end{equation*}
これより
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, (-\alpha(1) - M < \alpha(\beta(n)) - n \le 0)
\end{equation*}
が成り立ち、$\alpha, \beta$ とも奇関数だから、
\begin{equation}
\forall n \in \mathbb{Z} \, (-\alpha(1) - M < \alpha(\beta(n)) - n < \alpha(1) + M) \tag{8}
\end{equation}
が成り立つ。ここで $\beta$ がスロープであることが示されれば、$b = [\beta]$ として実数$b$を定めると、$(8)$より
\begin{equation*}
\alpha \beta - \bar{1} \in \mathcal{I}
\end{equation*}
が成り立つから、$ab = 1$ すなわち$b$は$a$の乗法逆元であることが示されて証明が終わる。そこで以下 $\beta$ がスロープであることを示す。このためには
\begin{equation*}
E_\beta = \{ \, \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{Z} \, \}
\end{equation*}
で定まる $E_\beta$ が有界であることを示せばよい。
任意の $m,n \in \mathbb{Z}$ に対して、$(7)$と$(8)$より
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(m)) &\le& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m) + \beta(n)) + M \\
&\le& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) + 2M \\
&<& (m+n) -m -n + 3\alpha(1) + 5M \\
&=& 3\alpha(1) + 5M
\end{eqnarray*}
であり、同様に
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(m)) &\ge& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m) + \beta(n)) - M \\
&\ge& \alpha(\beta(m+n)) - \alpha(\beta(m)) - \alpha(\beta(n)) - 2M \\
&>& (m+n) - m - n - 3\alpha(1) - 5M \\
&=& - 3\alpha(1) - 5M
\end{eqnarray*}
であるから、$N \ge 3\alpha(1) + 5M$ をみたす $N \in \mathbb{N}_+$ をとると、
\begin{equation}
\forall m,n \in \mathbb{Z} \, (-N \le \alpha(\beta(m+n) - \beta(m) - \beta(m)) \le N) \tag{9}
\end{equation}
が成り立つ。
ここで $E_\beta$ が上に有界でないと仮定すると、$(5)$より $\alpha(p) > M + N$ をみたす $p \in \mathbb{N}$ が存在するから、これに対して
\begin{equation*}
L = \min \{ \, \alpha(r) \, \mid \, r \in \mathbb{Z}, 0 \le r < p \, \}
\end{equation*}
とおくと、仮定より $qN \ge N - L + M$ となるような十分大きな $q \in \mathbb{Z}, q > 0$ に対して
\begin{equation*}
\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) = qp + r \quad (0 \le r < p)
\end{equation*}
とかけるような $m,n \in \mathbb{Z}$ が存在する。このとき【補題5】より
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n)) &=& \alpha(qp+r) \\
&\ge& \alpha(qp) + \alpha(r) - M \\
&\ge& \alpha(qp) + L - M \\
&\ge& q\alpha(p) - qM + L - M \\
&>& qN + L - M\\
&\ge& N
\end{eqnarray*}
より$(9)$と矛盾する。
$E_\beta$ が下に有界でないと仮定すると、$p$を同じものとして、
\begin{equation*}
L = \max \{ \, \alpha(r) \, \mid \, r \in \mathbb{Z}, -p < r \le 0 \, \}
\end{equation*}
とおくと、仮定より $qN \le -N - L - M$ となるような十分小さな $q \in \mathbb{Z}, q < 0$ に対して
\begin{equation*}
\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) = qp + r \quad (-p < r \le 0)
\end{equation*}
とかけるような $m,n \in \mathbb{Z}$ が存在する。同様に（ $q < 0$ に注意して）、
\begin{eqnarray*}
\alpha(\beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n)) &=& \alpha(qp+r) \\
&\le& \alpha(qp) + \alpha(r) + M \\
&\le& \alpha(qp) + L + M \\
&\le& q\alpha(p) - qM + L + M \\
&<& qN + L + M\\
&\le& -N
\end{eqnarray*}
より、やはり$(9)$と矛盾する。
以上より $E_\beta$ は有界集合であり、従って$\beta$はスロープである。以上で証明は完了した。□
$\mathbb{R}$が順序体であることが示されたので、これは次の手順によって$\mathbb{Q}$と同型な順序体を含むことがわかります。任意の $j \in \mathbb{Z}$ に対して、
\begin{equation}
\bar{j}(n) = jn
\end{equation}
で定まる$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への関数 $\bar{j}$ はスロープであり、整数$j$に同値類 $[\bar{j}]$ を対応させる写像によって$\mathbb{Z}$は$\mathbb{R}$に埋め込まれます。以下$j$と $[\bar{j}]$ を同一視し$\mathbb{Z}$を$\mathbb{R}$の部分順序環とみなします。さらに$\mathbb{R}$における $j \in \mathbb{Z}, j \neq 0$ の乗法逆元を考えることにより、$\mathbb{R}$の部分順序体としての有理数体$\mathbb{Q}$を構成することができます。
続いて、$\mathbb{R}$がアルキメデス的順序体であることを示します。
【補題10】$a \in \mathbb{R}$ ならば、$j > a$ をみたす $j \in \mathbb{N}_+$ が存在する。
（証明）$a = [\alpha]$ とする。【補題5】より
\begin{equation*}
\forall k \in \mathbb{N}_+ \, ( \left| \alpha(k) - k\alpha(1) \right| < kM )
\end{equation*}
となる $M \in \mathbb{N}_+$ がとれる。$i > \alpha(1) + M$ となる $i \in \mathbb{N}_+$ をとると、任意の $k \in \mathbb{N}_+$ に対し、
\begin{equation*}
\alpha(k) < k(\alpha(1) + M) < ik
\end{equation*}
であるから $\bar{i} - \alpha \in \mathcal{P}$ より $a \le i$ であり、$j = i+1$ とおくと $a < j$ である。□
【定理11】順序体$\mathbb{R}$はアルキメデス的である。すなわち次が成り立つ。
\begin{equation*}
\forall a,b \in \mathbb{R} \, (a > 0 \to \exists j \in \mathbb{N} \, (ja > b))
\end{equation*}
（証明）任意に $a,b \in \mathbb{R} \ (a > 0)$ をとる。【補題10】より $b/a < j $ をみたす $j \in \mathbb{N}$ がとれ、これに対して $ja > b$ が成り立つ。□
アルキメデス的順序体で次が成立することは一般論です。
【定理12】$\mathbb{Q}$は$\mathbb{R}$において稠密である。すなわち次が成り立つ。
\begin{equation*}
\forall a,b \in \mathbb{R} \, (a < b \to \exists c \in \mathbb{Q} \, (a < c < b))
\end{equation*}
従って、特に$\mathbb{R}$は自己稠密である。
（証明）任意に $a < b$ をみたす $a,b \in \mathbb{R}$ をとる。【定理11】より $1 < j(b - a) $ をみたす $j \in \mathbb{N}_+$ がとれ、これに対して $1/j < b - a$ である。さらに【補題10】より $ja < i$ となる最小の $i \in \mathbb{Z}$ がとれるから、$i - 1 \le ja$ より、
\begin{equation*}
i/j \le a + 1/j < a + (b - a) = b
\end{equation*}
よって $a < i/j < b$ かつ $i/j \in \mathbb{Q}$ となるから、$\mathbb{Q}$は$\mathbb{R}$において稠密である。□
以上で、$\mathbb{R}$がアルキメデス的順序体であることと、$\mathbb{R}$における$\mathbb{Q}$の稠密性が示されました。$\mathbb{R}$が完備であることの証明にはこれらの事実を使います。
(5) 完備性
最後にいよいよ$\mathbb{R}$の完備性の証明です。$\mathbb{R}$に埋め込まれた$\mathbb{Z}$を使ってスロープを構成し、それを用いて上限の存在を証明する、という少々チートな方法を使います。
【定理13】順序環$\mathbb{R}$は完備である。すなわち$\mathbb{R}$の空でなく上に有界な部分集合は上限をもつ。
（証明）$A$を空でなく上に有界な$\mathbb{R}$の部分集合とする。【定理11】より$\mathbb{R}$はアルキメデス的だから、$A$はある $M \in \mathbb{Z}$ を上界にもつとしてよい。この$M$に対し、
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \, \forall a \in A \, (an \le Mn)
\end{equation*}
が成り立つ。そこで、$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への関数$\beta$を
\begin{equation*}
\beta(n) = \min \{ \, k \in \mathbb{Z} \, \mid \, \forall a \in A \, (an \le k) \, \} \quad (n \in \mathbb{N})
\end{equation*}
をみたす奇関数として定める（$n=0$ のときは右辺が$0$になるから問題ない）。
$\beta$がスロープであること、すなわち
\begin{equation}
\left| \{ \, \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) \, \mid \, m,n \in \mathbb{N} \, \} \right| < \omega \tag{10}
\end{equation}
を示す。任意に $m,n \in \mathbb{N}$ をとる。$\beta$の定義より、
\begin{equation*}
\beta(m) - 1 < a_1m, \quad \beta(n) - 1 < a_2n, \quad \beta(m+n) - 1 < a_3(m+n)
\end{equation*}
をみたす $a_1, a_2, a_3 \in A$ がある。$a = \max \{ \, a_1, a_2, a_3 \, \}$ とすると、
\begin{equation*}
am \le \beta(m) < am + 1, \quad an \le \beta(n) < an + 1, \quad a(m+n) \le \beta(m+n) < a(m+n) + 1
\end{equation*}
であるから、
\begin{equation*}
-2 < \beta(m+n)-\beta(m)-\beta(n) < 1
\end{equation*}
となり、従って$(10)$が成り立つから$\beta$はスロープである。$b = [\beta]$ として実数$b$を定め、これが$A$の上限であることを示す。
ある $a \in A$ が $b < a$ をみたすと仮定して矛盾を導く。【定理12】より$\mathbb{Q}$が$\mathbb{R}$において稠密だから、
\begin{equation*}
b < i/j < a \quad (i \in \mathbb{Z}, j \in \mathbb{N}_+)
\end{equation*}
をみたす $i,j$ がとれる。$bj < i$ すなわち $\lnot (bj \ge i)$ だから $\beta \bar{j} - \bar{i} \notin \mathcal{P}$ であり、よって
\begin{equation*}
\beta(\bar{j}(n)) - \bar{i}(n) < 0
\end{equation*}
となる $n \in \mathbb{N}_+$ が存在し、この$n$に対して $\beta(jn) < in$ である。一方で $i < aj$ より
\begin{equation*}
\beta(jn) < in < ajn
\end{equation*}
が成り立ち、$jn \in \mathbb{N}_+$ だから、これは$\beta$の作り方に矛盾する。従って $b$ は $A$の上界である。
次に、$A$の上界$c$で $c < b$ となるものが存在すると仮定して矛盾を導く。先と同様に、
\begin{equation*}
c < i/j < b \quad (i \in \mathbb{Z}, j \in \mathbb{N}_+)
\end{equation*}
をみたす $i,j$ がとれる。$i < bj$ だから先と同様の議論によって $in < \beta(jn)$ となる $n \in \mathbb{N}_+$ が存在する。この$n$に対して、任意に $a \in A$ をとると $a \le c < i/j$ より $aj < i$ であるから、
\begin{equation*}
ajn < in < \beta(jn)
\end{equation*}
となり、$in \in \mathbb{Z}$ だからやはり$\beta$の作り方に矛盾する。従ってこのような$c$は存在せず、$b$は$A$の上限である。
以上で$\mathbb{R}$が完備であることが示された。□
$A$の上限 $b = [\beta]$ の作り方が、わりと自然な発想になっていることがわかると思います。以上で$\mathbb{R}$は完備性をもつ順序体であること、すなわち実数体の性質を全て持つことの証明がこれで完了しました。
アカンポの実数論は、$\mathbb{Z}$から$\mathbb{Q}$を介さずに$\mathbb{R}$が構成でき、演算や順序の定義が自然であるという特徴をもつ、画期的な構成法です。本記事ではそれを自分なりにアレンジし、構成法も以前記事にした「形式的冪級数を用いた実数体の構成法について」とよく似た流れになって、理解しやすくなったと思います。
（追記）2021/2/14
乗法逆元の存在の証明に関する部分を大幅に修正しました。
記事を拝見させて頂きました。
非常に面白かったです。
素人ながら考えた事を書かせて頂きます。
λを奇関数とするより強く、N→Zとしても同様に議論が出来ると思います。直感ですが以下の様に簡単に書けるのて議論がしやすいのかなとも思います。
数列{λ(n)/n}がある実数に収束する
⇔{λ(n+m)-λ(n)-λ(m)|n,m∈N}が有限集合
⇔{λ(n+1)-λ(n)|n∈N}が有限集合
{α(n)/n}と{β(n)/n}が同じ実数に収束する
⇔{α(n)-β(n)|n∈N}が有限集合
α<β⇔{n∈N|α(n)>β(n)}が有限集合
となって有理数の極限として実数を、
スロープの問題として書き換えているのかなと思いました。
面白そうなので後で証明してみようと思います。
by Quinque (2021-02-03 21:16)
Quinque さん、コメントの承認が大変遅くなって申し訳ありません。
おっしゃるように条件を書き換えると議論が見やすくなるようですね。
λがスロープである⇔数列{λ(n)/n}がある実数に収束する
私もこのことに気がついてから、考え方がイメージしやすくなりました。
by ロイロット博士 (2021-12-22 01:28)
今更ですがその同値性の⇐方向は成立しません。例えばλ(n) = floor √nを考えてみると、λ(n+m)とλ(n)+λ(m)の差はいくらでも大きくできる（λ(n+n)=floor(√2√n)、λ(n)+λ(n)=2λ(n)、λ(n)→+∞ as n→+∞）ことから、λはスロープではありませんが、λ(n)/nは0に収束します。
by Amn (2023-01-07 02:45)
Amn さん、ご指摘ありがとうございます。
確かにその通りですね。早とちりしてしまいました。
λがスロープである⇒数列{λ(n)/n}がある実数aに収束する⇒ある実数aに対し{λ(n)-an | n∈N}が有界
が成立し、
λがスロープである⇐ある実数aに対し{λ(n)-an | n∈N}が有界
も成立するので、全て同値と思い込んでいたのですが、
前者の2つ目の⇒は「λがスロープである」を前提にしないと成立しませんでした。失礼しました。
by ロイロット博士 (2023-01-08 01:47)