ロピタルの定理の超準解析での証明例

　前回の記事に続いて、超準解析を使った証明例です。
　ロピタルの定理の ∞/∞ バージョンを証明します。Wikipedia に載っている証明例をみるとわかるように、普通は結構面倒なテクニックを使って証明されているようです。

【定理】
$f,g$ は $\mathbb{R}$ の区間 $[a, +\infty)$ 上で定義された微分可能な実関数で、
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]
をみたし、かつ $x \in [a, +\infty)$ で $g'(x) \neq 0$ とする。このとき $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ が存在するならば　$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ である。

（証明）
　$f,g$ の ${}^*\mathbb{R}$ への自然延長を ${}^*f,{}^*g$ とする。任意に正の無限大超実数 $x$ をとる。仮定より ${}^*f(x),{}^*g(x)$ は正の無限大である。このとき、
\[ y < x \land {}^*f(y) \le \sqrt{{}^*f(x)} \land {}^*g(y) \le \sqrt{{}^*g(x)} \]
をみたす正の無限大超実数 $y$ がとれる。なぜなら、$f$ が連続だから中間値の定理と移行原理によって、
\[ a < y_1 < x \land {}^*f(y_1)=\sqrt{{}^*f(x)} \]
をみたす最小の $y_1$ が存在し、$\displaystyle \sqrt{{}^*f(x)}$ が正の無限大だから $y_1$ も正の無限大。同様に
\[ a < y_2 < x \land {}^*g(y_2)=\sqrt{{}^*g(x)} \]
をみたす最小の $y_2$ が存在するから、$y=\textrm{min}\{ \, y_1,y_2 \, \}$ とすると $y$ は所要のものになる。そして
\[ 0 < \frac{{}^*f(y)}{{}^*f(x)} \le \frac{1}{\sqrt{{}^*f(x)}} \approx 0 \]
より $\displaystyle \frac{{}^*f(y)}{{}^*f(x)} \approx 0$ となり、同様に $\displaystyle \frac{{}^*g(y)}{{}^*g(x)} \approx 0$ となる。一方、コーシーの平均値の定理と移行原理によって、
\[ y < c < x \land \frac{{}^*f(x)-{}^*f(y)}{{}^*g(x)-{}^*g(y)}=\frac{{}^*f'(c)}{{}^*g'(c)} \]
をみたす正の無限大超実数 $c$ が存在し、これに対して
\[ \frac{{}^*f(x)}{{}^*g(x)} \cdot \frac{1-{}^*f(y)/{}^*f(x)}{1-{}^*g(y)/{}^*g(x)} = \frac{{}^*f'(c)}{{}^*g'(c)} \]
となるから、両辺の標準部分をとると、
\[ \mathrm{st} \left( \frac{{}^*f(x)}{{}^*g(x)} \right) = \mathrm{st} \left( \frac{{}^*f'(c)}{{}^*g'(c)} \right) = L \]
$x$ は任意の正の無限大超実数だから $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ が得られる。（証明終）

　ここでも無限大超実数の平方根が現れました。このように様々な大きさの無限大が自由に作れるのが超準解析の便利なところです。普通の証明よりもう少し直感的に理解しやすいのではないでしょうか。