超フィルターを用いた距離空間の完備化 [数学]
先日の記事「超フィルターを使った距離空間「全有界＋完備 ⇔ コンパクト」の証明」で、距離空間の完備性を超フィルターを用いた同値な条件で表しました。今回はそれと関連して、距離空間の完備化を超フィルターを用いて構成するということをやってみます。
超フィルターについての予備知識は、こちらの記事を参照してください。今回はそれに加えて次の事実も使います。$X$ を空でない集合、$\mathbf{F}$ を $X$（の冪集合）上の超フィルターとすると、次が成立します。
\begin{equation*} \tag{0}
A \in \mathbf{F} \land B \subseteq X \to B \in \mathbf{F} \lor A \setminus B \in \mathbf{F}
\end{equation*}
また、全体を通じて、正実数の全体を $\mathbb{R}^+$ で、非負実数の全体を $\mathbb{R}^+_0$ で表します。
1. 距離空間上の超フィルター間に擬距離を定める
$\langle X, d_X \rangle$ を距離空間とします。$X$ は空でない集合で、$d_X : X^2 \to \mathbb{R}^+_0$ は距離関数です。$X$ の要素は慣習にならって点とよびます。
$X$ の空でない部分集合 $A,B$ に対し、$A,B$ 間の「距離」を
\begin{equation*}
\mathrm{dist}_X(A,B) = \inf \{ \, d_X(a,b) \, \mid \, a \in A \land b \in B \, \}
\end{equation*}
によって定めます。これは感覚的には距離と言ってよいですが、点間の距離とは違って三角不等式を満たしません。
次に、$X$ 上の超フィルターの全体を $\mathrm{U}(X)$ とし、その要素 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ に対して次によって関数 $\bar{d}_X : \mathrm{U}(X)^2 \to \mathbb{R}^+_0 \cup \{ \infty \}$ を定めます。
\begin{equation*}
\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sup \{ \, \mathrm{dist}_X(A,B) \, \mid \, A \in \mathbf{A} \land B \in \mathbf{B} \, \}
\end{equation*}
これは「超フィルター間の距離のようなもの」といえます。なぜそう言えるかはすぐ後で証明します。
$X$ の点 $x,y$ に対し、単項フィルター $\uparrow x, \uparrow y$ を考えると、
\begin{equation*}
\bar{d}_X( \uparrow x, \uparrow y ) = d_X(x,y)
\end{equation*}
となることはすぐわかります。
関数 $\bar{d}_X$ は一般には $\infty$ になることがあり得ます。そこで、ある $X$ の点 $x$ に対して $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \infty$ となるような超フィルター $\mathbf{A}$ を「有界超フィルター」と呼び、$X$上の有界超フィルターの全体を $\mathrm{U}_B(X)$ とかくことにします（ここだけの勝手な用語です）。単項フィルター $\uparrow x$ はもちろん有界超フィルターであり、$\mathbf{A}, \mathbf{B}$ がともに有界超フィルターならば $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} ) < \infty$ であることも容易にわかります（ある $x,y \in X$ に対して $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \infty, \bar{d}_X( \mathbf{B}, \uparrow y ) < \infty$ とすると、任意の $A \in \mathbf{A}, B \in \mathbf{B}$ と $a \in A, b \in B$ に対して $d_X(a,b) \le d_X(a,x) + d_X(b,y) + d_X(x,y)$ だから $\mathrm{dist}_X(A,B) \le d_X(a,x) + d_X(b,y) + d_X(x,y)$ より $\mathrm{dist}_X(A,B) \le \mathrm{dist}_X(A, \{x\} ) + \mathrm{dist}_X(B, \{y\} ) + d_X(x,y) \le \bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \uparrow y ) + d_X(x,y) < \infty$ となり、これより $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} ) < \infty$ が得られる）。従って $\mathrm{U}_B(X)$ 上では関数 $\bar{d}_X$ の値は $\infty$ にはならずに $\mathbb{R}^+_0$ 内にとられます。
このとき、次が成立します。
（証明）
① $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{A}) = 0$
フィルターの有限交差性から明らか。
② $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) = \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{A})$（対称性）
定義の対称性から明らか。
③ $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) \le \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C})$（三角不等式）
まず一般に $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) < \infty$ ならば、次の$2$性質が成り立つことに注意する。
i) $\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall A \in \mathbf{A} \, \forall B \in \mathbf{B} \, \exists a \in A \, \exists b \in B \, ( d_X(a,b) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) + \epsilon )$
ii) $\exists A \in \mathbf{A} \, \exists B \in \mathbf{B} \, \forall a \in A \, \forall b \in B \, ( d_X(a,b) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) )$
このことを念頭におきつつ、ある $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \in \mathrm{U}_B(X)$ に対して $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) > \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C})$ と仮定して矛盾を導く。$\epsilon = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) - \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C})$ とおくと $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ である。ii) より
\begin{equation} \tag{1}
\forall a \in A \, \forall b \in B \, ( d_X(a,b) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) )
\end{equation}
をみたす $A \in \mathbf{A}, B \in \mathbf{B}$ がとれる。$C \in \mathbf{C}$ を一つとり、
\begin{eqnarray*}
C_1 &=& \{ \, c \in C \, \mid \, \exists a \in A \, ( d_X(a,c) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 ) \, \} \\
C_2 &=& \{ \, c \in C \, \mid \, \exists b \in B \, ( d_X(b,c) < \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 ) \, \}
\end{eqnarray*}
とおくと、
\begin{equation*}
C \setminus C_1 = \{ \, c \in C \, \mid \, \forall a \in A \, ( d_X(a,c) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 ) \, \}
\end{equation*}
なので、
\begin{equation*}
\forall c \in C \setminus C_1 \, \forall a \in A \, ( d_X(a,c) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 )
\end{equation*}
と i) と $A \in \mathbf{A}$ より $C \setminus C_1 \notin \mathbf{C}$ であり、$\mathbf{C}$ は超フィルターだから($0$)より $C_1 \in \mathbf{C}$ である。同様に $C_2 \in \mathbf{C}$ が得られるから、フィルターの有限交差性より $C_1 \cap C_2 \neq \emptyset$ である。$c \in C_1 \cap C_2$ を一つとると、$d_X(a,c) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2$ となる $a \in A$ と $d_X(b,c) < \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C}) + \epsilon /2$ となる $b \in B$ が存在するから、
\begin{equation*}
d_X(a,b) \le d_X(a,c) + d_X(b,c) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C}) + \epsilon = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B})
\end{equation*}
これは $(1)$と矛盾するから、仮定が誤っている。□
ここで三角不等式の証明に超フィルターの性質を使用しています。
2. 同値類によって距離空間を構成する
$X$ の完備化を求めるために、上で定まった擬距離空間 $\langle \mathrm{U}_B(X), \bar{d}_X \rangle$ をもう少し制限します。
\begin{equation} \tag{2}
\mathrm{U}_C(X) = \{ \, \mathbf{A} \in \mathrm{U}_B(X) \, \mid \, \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in X \, ( \bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \epsilon ) \, \}
\end{equation}
によって $\mathrm{U}_C(X)$ を定め、$\langle \mathrm{U}_B(X), \bar{d}_X \rangle$ の部分擬距離空間 $\langle \mathrm{U}_C(X), \bar{d}_X \rangle$ を考えます。この上に次によって自然な同値関係 $\sim$ を定めます。
\begin{equation*}
\mathbf{A} \sim \mathbf{B} \quad \Leftrightarrow \quad \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} ) = 0
\end{equation*}
そしてこの同値関係による商集合 $Y$ と、関数 $d_Y : Y^2 \to \mathbb{R}^+_0$ を次によって定めます。
\begin{eqnarray*}
&&Y = \mathrm{U}_C(X) / \sim \\
&&d_Y( [ \mathbf{A} ], [ \mathbf{B} ] ) = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} )
\end{eqnarray*}
ここで $[ \mathbf{A} ]$ は $\mathbf{A}$ が属する同値類を表します。この $d_Y$ は Well Defined で、$Y$ 上の距離関数の条件をみたすことが容易にわかるので、$\langle Y, d_Y \rangle$ は距離空間になります。
単項フィルター $ \uparrow x $ は明らかに $\mathrm{U}_C(X)$ に属するので、写像 $\iota : X \to Y$ を
\begin{equation*}
\iota(x) = [ \uparrow x ]
\end{equation*}
によって定めると、明らかに $d_Y( \iota(x), \iota(y) ) = d_X(x,y)$ すなわち $\iota$ は距離を保つ単射になり、$Y$ は $X$ の拡大とみなすことができます。この $\langle Y, d_Y \rangle$ が $\langle X, d_X \rangle$ の完備化（以下簡単に $Y$ が $X$ の完備化）であることを示すのが本記事の目的です。
3. 完備化であることの証明
距離空間 $Y$ が 距離空間 $X$ の完備化であることを示すには、次の2点を示すことが必要十分です。
i) $\iota$ による $X$ の像 $\iota[X]$ は $Y$ において稠密である。
ii) $Y$ は完備である。
以下、ひとつずつ証明していきます。i) は簡単です。
（証明）
任意に $a \in Y$ と $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ をとる。$a = [ \mathbf{A} ] \ ( \mathbf{A} \in \mathrm{U}_C(X) )$ とすると、$\mathrm{U}_C(X)$ の定義($2$)より、ある $x \in X$ があって $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \epsilon$ をみたす。従って $d_Y(a, \iota(x) ) = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \epsilon$ となるから、$\iota[X]$ は $Y$ において稠密である。□
これに対し、ii) の証明はちょっと一手間かかります。先日の記事で紹介した完備性の超フィルターによる同値条件を使って証明します。
（証明）
$Y$ が完備であることを示すためには、任意にとった $Y$ 上の超フィルター $\mathbf{F}$ について次が成立することを示せばよい。
\begin{equation} \tag{3}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} ) \to \exists y \in Y \, \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} )
\end{equation}
ここで $U(y, \epsilon )$ は $Y$ における点 $y$ を中心とする半径 $\epsilon$ の開球を表す。そこで($3$)の矢印の左側、次の条件をみたす $Y$ 上の超フィルター $\mathbf{F}$ を任意にとる。
\begin{equation} \tag{4}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} )
\end{equation}
$\iota[X]$ が $Y$ において稠密だから $\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \cap \iota[X] \neq \emptyset )$ である。これより、
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \{ \, A \subseteq X \, \mid \, \exists \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} \land \iota[A] = U(y, \epsilon ) \cap \iota[X] ) \, \}
\end{equation*}
と定めると、$\mathbf{F}$ の条件($4$)より $\mathbf{A}$ は空でない。また、任意に有限個の $\mathbf{A}$ の要素 $A_1, A_2, \cdots , A_n$ をとると、$\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots , \epsilon_n \in \mathbb{R}^+$ と $y_1, y_2, \cdots , y_n \in X$ が存在して、
\begin{equation*}
U(y_i, \epsilon_i ) \in \mathbf{F} \land \iota[A_i] = U(y_i, \epsilon_i ) \cap \iota[X] \quad (i=1,2, \cdots ,n)
\end{equation*}
であるから、
\begin{equation*}
\iota[A_1] \cap \iota[A_2] \cap \cdots \cap \iota[A_n] = ( U(y_1, \epsilon_1 ) \cap U(y_2, \epsilon_2 ) \cap \cdots \cap U(y_n, \epsilon_n ) ) \cap \iota[X] \neq \emptyset
\end{equation*}
ここで最後の $\neq \emptyset$ は、$U(y_1, \epsilon_1 ) \cap U(y_2, \epsilon_2 ) \cap \cdots \cap U(y_n, \epsilon_n ) \in \mathbf{F}$ と $\mathbf{F}$ の有限交差性より、$\in$ の左側が空でない開集合であることと、$\iota[X]$ が $Y$ において稠密であることから導かれる。従って、
\begin{equation*}
A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \neq \emptyset
\end{equation*}
であるから $\mathbf{A}$ は有限交差性をもち、これより $\mathbf{A}$ を含む $X$ 上の超フィルター $\mathbf{B}$ が存在する。
$\mathbf{B} \in \mathrm{U}_C(X)$ を示す。任意に $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ をとると、($4$)よりある $y \in Y$ に対して
\begin{equation*}
U(y, \epsilon /3 ) \in \mathbf{F} \land \iota[A] = U(y, \epsilon /3 ) \cap \iota[X]
\end{equation*}
となる $A \in \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ が存在する。$a \in A$ を一つとると、任意の $x \in A$ に対して、
\begin{equation*}
d_X(x,a) = d_Y( \iota(x), \iota(a) ) \le d_Y( \iota(x), y ) + d_Y( \iota(a), y ) < \epsilon /3 + \epsilon /3 = 2 \epsilon /3
\end{equation*}
であり、任意の $B \in \mathbf{B}$ は $A \cap B \neq \emptyset$ をみたすから $\mathrm{dist}_X( B, \{a\} ) < 2 \epsilon /3$ である。従って、
\begin{equation*}
\bar{d}_X( \mathbf{B}, \uparrow a ) \le 2 \epsilon /3 < \epsilon
\end{equation*}
これで($2$)より $\mathbf{B} \in \mathrm{U}_C(X)$ が示されたから、$b = [ \mathbf{B} ]$ として $b \in Y$ が定まる。
最後に次が成立すること（ $\mathbf{F}$ が この $b$ に収束すること）を示す。
\begin{equation} \tag{5}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, ( U(b, \epsilon ) \in \mathbf{F} )
\end{equation}
これが成立しないと仮定して矛盾を導く。このとき $U(b, \epsilon ) \notin \mathbf{F}$ となる $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ が存在する。($4$)より $U(c, \epsilon /4) \in \mathbf{F}$ をみたす $c \in Y$ がとれ、$\iota[C] = U(c, \epsilon /4 ) \cap \iota[X]$ となる $C \subseteq X$ をとると $C \in \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ である。$U(b, \epsilon ) \notin \mathbf{F}$ より $U(c, \epsilon /4) \not \subseteq U(b, \epsilon )$ であるから $d_Y(b,c) > 3 \epsilon /4$ でなければならない。一方、$\iota[X]$ が $Y$ において稠密だから、
\begin{equation*}
d_Y(b, \iota[x] ) < \epsilon /4
\end{equation*}
となる $x \in X$ をとることができる。この $x$ に対し任意に $z \in C$ をとると、
\begin{equation*}
d_X(z, x) = d_Y( \iota[z], \iota[x] ) \ge d_Y(b,c) - d_Y( \iota[z], c ) - d_Y( \iota[x], b ) > 3 \epsilon /4 - \epsilon /4 - \epsilon /4 = \epsilon /4
\end{equation*}
よって $\mathrm{dist}_X( C, \{x\} ) \ge \epsilon /4$ であり、$C \in \mathbf{B}$ かつ $b = [ \mathbf{B} ]$ より
\begin{equation*}
d_Y(b, \iota[x] ) \ge \epsilon /4
\end{equation*}
が得られるが、これは $x$ のとり方に矛盾する。従って($5$)が成立する。
以上で任意の $Y$ 上の超フィルター $\mathbf{F}$ について($3$)が成立することが示されたから、$Y$ は完備である。□
これで、超フィルターを用いた距離空間の完備化の構成法を示すことができました。
4. おわりに
いかがでしたでしょうか。この方法は、距離空間の完備化の構成法として普通にみられるコーシー列を用いたものに比べても相当ゴチャゴチャしていて、手法としてはあまり価値がなさそうな気もしますが、超フィルターのこのような利用法があるということ自体が面白いと思います。また、こちらの記事で紹介した「超準モデルを使った距離空間の完備化」とのアナロジーも感じることができます。一つの手法として紹介しました。
（前記事）
超フィルターについての予備知識は、こちらの記事を参照してください。今回はそれに加えて次の事実も使います。$X$ を空でない集合、$\mathbf{F}$ を $X$（の冪集合）上の超フィルターとすると、次が成立します。
\begin{equation*} \tag{0}
A \in \mathbf{F} \land B \subseteq X \to B \in \mathbf{F} \lor A \setminus B \in \mathbf{F}
\end{equation*}
また、全体を通じて、正実数の全体を $\mathbb{R}^+$ で、非負実数の全体を $\mathbb{R}^+_0$ で表します。
1. 距離空間上の超フィルター間に擬距離を定める
$\langle X, d_X \rangle$ を距離空間とします。$X$ は空でない集合で、$d_X : X^2 \to \mathbb{R}^+_0$ は距離関数です。$X$ の要素は慣習にならって点とよびます。
$X$ の空でない部分集合 $A,B$ に対し、$A,B$ 間の「距離」を
\begin{equation*}
\mathrm{dist}_X(A,B) = \inf \{ \, d_X(a,b) \, \mid \, a \in A \land b \in B \, \}
\end{equation*}
によって定めます。これは感覚的には距離と言ってよいですが、点間の距離とは違って三角不等式を満たしません。
次に、$X$ 上の超フィルターの全体を $\mathrm{U}(X)$ とし、その要素 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ に対して次によって関数 $\bar{d}_X : \mathrm{U}(X)^2 \to \mathbb{R}^+_0 \cup \{ \infty \}$ を定めます。
\begin{equation*}
\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sup \{ \, \mathrm{dist}_X(A,B) \, \mid \, A \in \mathbf{A} \land B \in \mathbf{B} \, \}
\end{equation*}
これは「超フィルター間の距離のようなもの」といえます。なぜそう言えるかはすぐ後で証明します。
$X$ の点 $x,y$ に対し、単項フィルター $\uparrow x, \uparrow y$ を考えると、
\begin{equation*}
\bar{d}_X( \uparrow x, \uparrow y ) = d_X(x,y)
\end{equation*}
となることはすぐわかります。
関数 $\bar{d}_X$ は一般には $\infty$ になることがあり得ます。そこで、ある $X$ の点 $x$ に対して $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \infty$ となるような超フィルター $\mathbf{A}$ を「有界超フィルター」と呼び、$X$上の有界超フィルターの全体を $\mathrm{U}_B(X)$ とかくことにします（ここだけの勝手な用語です）。単項フィルター $\uparrow x$ はもちろん有界超フィルターであり、$\mathbf{A}, \mathbf{B}$ がともに有界超フィルターならば $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} ) < \infty$ であることも容易にわかります（ある $x,y \in X$ に対して $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \infty, \bar{d}_X( \mathbf{B}, \uparrow y ) < \infty$ とすると、任意の $A \in \mathbf{A}, B \in \mathbf{B}$ と $a \in A, b \in B$ に対して $d_X(a,b) \le d_X(a,x) + d_X(b,y) + d_X(x,y)$ だから $\mathrm{dist}_X(A,B) \le d_X(a,x) + d_X(b,y) + d_X(x,y)$ より $\mathrm{dist}_X(A,B) \le \mathrm{dist}_X(A, \{x\} ) + \mathrm{dist}_X(B, \{y\} ) + d_X(x,y) \le \bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \uparrow y ) + d_X(x,y) < \infty$ となり、これより $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} ) < \infty$ が得られる）。従って $\mathrm{U}_B(X)$ 上では関数 $\bar{d}_X$ の値は $\infty$ にはならずに $\mathbb{R}^+_0$ 内にとられます。
このとき、次が成立します。
【定理1】上で定義した $\bar{d}_X$ は、$\mathrm{U}_B(X)$ 上の擬距離を定める。
（証明）
① $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{A}) = 0$
フィルターの有限交差性から明らか。
② $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) = \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{A})$（対称性）
定義の対称性から明らか。
③ $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) \le \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C})$（三角不等式）
まず一般に $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) < \infty$ ならば、次の$2$性質が成り立つことに注意する。
i) $\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall A \in \mathbf{A} \, \forall B \in \mathbf{B} \, \exists a \in A \, \exists b \in B \, ( d_X(a,b) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) + \epsilon )$
ii) $\exists A \in \mathbf{A} \, \exists B \in \mathbf{B} \, \forall a \in A \, \forall b \in B \, ( d_X(a,b) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) )$
このことを念頭におきつつ、ある $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \in \mathrm{U}_B(X)$ に対して $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) > \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C})$ と仮定して矛盾を導く。$\epsilon = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) - \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C})$ とおくと $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ である。ii) より
\begin{equation} \tag{1}
\forall a \in A \, \forall b \in B \, ( d_X(a,b) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B}) )
\end{equation}
をみたす $A \in \mathbf{A}, B \in \mathbf{B}$ がとれる。$C \in \mathbf{C}$ を一つとり、
\begin{eqnarray*}
C_1 &=& \{ \, c \in C \, \mid \, \exists a \in A \, ( d_X(a,c) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 ) \, \} \\
C_2 &=& \{ \, c \in C \, \mid \, \exists b \in B \, ( d_X(b,c) < \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 ) \, \}
\end{eqnarray*}
とおくと、
\begin{equation*}
C \setminus C_1 = \{ \, c \in C \, \mid \, \forall a \in A \, ( d_X(a,c) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 ) \, \}
\end{equation*}
なので、
\begin{equation*}
\forall c \in C \setminus C_1 \, \forall a \in A \, ( d_X(a,c) \ge \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2 )
\end{equation*}
と i) と $A \in \mathbf{A}$ より $C \setminus C_1 \notin \mathbf{C}$ であり、$\mathbf{C}$ は超フィルターだから($0$)より $C_1 \in \mathbf{C}$ である。同様に $C_2 \in \mathbf{C}$ が得られるから、フィルターの有限交差性より $C_1 \cap C_2 \neq \emptyset$ である。$c \in C_1 \cap C_2$ を一つとると、$d_X(a,c) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \epsilon /2$ となる $a \in A$ と $d_X(b,c) < \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C}) + \epsilon /2$ となる $b \in B$ が存在するから、
\begin{equation*}
d_X(a,b) \le d_X(a,c) + d_X(b,c) < \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{C}) + \bar{d}_X( \mathbf{B}, \mathbf{C}) + \epsilon = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B})
\end{equation*}
これは $(1)$と矛盾するから、仮定が誤っている。□
ここで三角不等式の証明に超フィルターの性質を使用しています。
2. 同値類によって距離空間を構成する
$X$ の完備化を求めるために、上で定まった擬距離空間 $\langle \mathrm{U}_B(X), \bar{d}_X \rangle$ をもう少し制限します。
\begin{equation} \tag{2}
\mathrm{U}_C(X) = \{ \, \mathbf{A} \in \mathrm{U}_B(X) \, \mid \, \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in X \, ( \bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \epsilon ) \, \}
\end{equation}
によって $\mathrm{U}_C(X)$ を定め、$\langle \mathrm{U}_B(X), \bar{d}_X \rangle$ の部分擬距離空間 $\langle \mathrm{U}_C(X), \bar{d}_X \rangle$ を考えます。この上に次によって自然な同値関係 $\sim$ を定めます。
\begin{equation*}
\mathbf{A} \sim \mathbf{B} \quad \Leftrightarrow \quad \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} ) = 0
\end{equation*}
そしてこの同値関係による商集合 $Y$ と、関数 $d_Y : Y^2 \to \mathbb{R}^+_0$ を次によって定めます。
\begin{eqnarray*}
&&Y = \mathrm{U}_C(X) / \sim \\
&&d_Y( [ \mathbf{A} ], [ \mathbf{B} ] ) = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \mathbf{B} )
\end{eqnarray*}
ここで $[ \mathbf{A} ]$ は $\mathbf{A}$ が属する同値類を表します。この $d_Y$ は Well Defined で、$Y$ 上の距離関数の条件をみたすことが容易にわかるので、$\langle Y, d_Y \rangle$ は距離空間になります。
単項フィルター $ \uparrow x $ は明らかに $\mathrm{U}_C(X)$ に属するので、写像 $\iota : X \to Y$ を
\begin{equation*}
\iota(x) = [ \uparrow x ]
\end{equation*}
によって定めると、明らかに $d_Y( \iota(x), \iota(y) ) = d_X(x,y)$ すなわち $\iota$ は距離を保つ単射になり、$Y$ は $X$ の拡大とみなすことができます。この $\langle Y, d_Y \rangle$ が $\langle X, d_X \rangle$ の完備化（以下簡単に $Y$ が $X$ の完備化）であることを示すのが本記事の目的です。
3. 完備化であることの証明
距離空間 $Y$ が 距離空間 $X$ の完備化であることを示すには、次の2点を示すことが必要十分です。
i) $\iota$ による $X$ の像 $\iota[X]$ は $Y$ において稠密である。
ii) $Y$ は完備である。
以下、ひとつずつ証明していきます。i) は簡単です。
【定理2】$\iota$ による $X$ の像 $\iota[X]$ は $Y$ において稠密である。
（証明）
任意に $a \in Y$ と $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ をとる。$a = [ \mathbf{A} ] \ ( \mathbf{A} \in \mathrm{U}_C(X) )$ とすると、$\mathrm{U}_C(X)$ の定義($2$)より、ある $x \in X$ があって $\bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \epsilon$ をみたす。従って $d_Y(a, \iota(x) ) = \bar{d}_X( \mathbf{A}, \uparrow x ) < \epsilon$ となるから、$\iota[X]$ は $Y$ において稠密である。□
これに対し、ii) の証明はちょっと一手間かかります。先日の記事で紹介した完備性の超フィルターによる同値条件を使って証明します。
【定理3】$Y$ は完備である。
（証明）
$Y$ が完備であることを示すためには、任意にとった $Y$ 上の超フィルター $\mathbf{F}$ について次が成立することを示せばよい。
\begin{equation} \tag{3}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} ) \to \exists y \in Y \, \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} )
\end{equation}
ここで $U(y, \epsilon )$ は $Y$ における点 $y$ を中心とする半径 $\epsilon$ の開球を表す。そこで($3$)の矢印の左側、次の条件をみたす $Y$ 上の超フィルター $\mathbf{F}$ を任意にとる。
\begin{equation} \tag{4}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} )
\end{equation}
$\iota[X]$ が $Y$ において稠密だから $\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \cap \iota[X] \neq \emptyset )$ である。これより、
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \{ \, A \subseteq X \, \mid \, \exists \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists y \in Y \, ( U(y, \epsilon ) \in \mathbf{F} \land \iota[A] = U(y, \epsilon ) \cap \iota[X] ) \, \}
\end{equation*}
と定めると、$\mathbf{F}$ の条件($4$)より $\mathbf{A}$ は空でない。また、任意に有限個の $\mathbf{A}$ の要素 $A_1, A_2, \cdots , A_n$ をとると、$\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots , \epsilon_n \in \mathbb{R}^+$ と $y_1, y_2, \cdots , y_n \in X$ が存在して、
\begin{equation*}
U(y_i, \epsilon_i ) \in \mathbf{F} \land \iota[A_i] = U(y_i, \epsilon_i ) \cap \iota[X] \quad (i=1,2, \cdots ,n)
\end{equation*}
であるから、
\begin{equation*}
\iota[A_1] \cap \iota[A_2] \cap \cdots \cap \iota[A_n] = ( U(y_1, \epsilon_1 ) \cap U(y_2, \epsilon_2 ) \cap \cdots \cap U(y_n, \epsilon_n ) ) \cap \iota[X] \neq \emptyset
\end{equation*}
ここで最後の $\neq \emptyset$ は、$U(y_1, \epsilon_1 ) \cap U(y_2, \epsilon_2 ) \cap \cdots \cap U(y_n, \epsilon_n ) \in \mathbf{F}$ と $\mathbf{F}$ の有限交差性より、$\in$ の左側が空でない開集合であることと、$\iota[X]$ が $Y$ において稠密であることから導かれる。従って、
\begin{equation*}
A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \neq \emptyset
\end{equation*}
であるから $\mathbf{A}$ は有限交差性をもち、これより $\mathbf{A}$ を含む $X$ 上の超フィルター $\mathbf{B}$ が存在する。
$\mathbf{B} \in \mathrm{U}_C(X)$ を示す。任意に $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ をとると、($4$)よりある $y \in Y$ に対して
\begin{equation*}
U(y, \epsilon /3 ) \in \mathbf{F} \land \iota[A] = U(y, \epsilon /3 ) \cap \iota[X]
\end{equation*}
となる $A \in \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ が存在する。$a \in A$ を一つとると、任意の $x \in A$ に対して、
\begin{equation*}
d_X(x,a) = d_Y( \iota(x), \iota(a) ) \le d_Y( \iota(x), y ) + d_Y( \iota(a), y ) < \epsilon /3 + \epsilon /3 = 2 \epsilon /3
\end{equation*}
であり、任意の $B \in \mathbf{B}$ は $A \cap B \neq \emptyset$ をみたすから $\mathrm{dist}_X( B, \{a\} ) < 2 \epsilon /3$ である。従って、
\begin{equation*}
\bar{d}_X( \mathbf{B}, \uparrow a ) \le 2 \epsilon /3 < \epsilon
\end{equation*}
これで($2$)より $\mathbf{B} \in \mathrm{U}_C(X)$ が示されたから、$b = [ \mathbf{B} ]$ として $b \in Y$ が定まる。
最後に次が成立すること（ $\mathbf{F}$ が この $b$ に収束すること）を示す。
\begin{equation} \tag{5}
\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, ( U(b, \epsilon ) \in \mathbf{F} )
\end{equation}
これが成立しないと仮定して矛盾を導く。このとき $U(b, \epsilon ) \notin \mathbf{F}$ となる $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ が存在する。($4$)より $U(c, \epsilon /4) \in \mathbf{F}$ をみたす $c \in Y$ がとれ、$\iota[C] = U(c, \epsilon /4 ) \cap \iota[X]$ となる $C \subseteq X$ をとると $C \in \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ である。$U(b, \epsilon ) \notin \mathbf{F}$ より $U(c, \epsilon /4) \not \subseteq U(b, \epsilon )$ であるから $d_Y(b,c) > 3 \epsilon /4$ でなければならない。一方、$\iota[X]$ が $Y$ において稠密だから、
\begin{equation*}
d_Y(b, \iota[x] ) < \epsilon /4
\end{equation*}
となる $x \in X$ をとることができる。この $x$ に対し任意に $z \in C$ をとると、
\begin{equation*}
d_X(z, x) = d_Y( \iota[z], \iota[x] ) \ge d_Y(b,c) - d_Y( \iota[z], c ) - d_Y( \iota[x], b ) > 3 \epsilon /4 - \epsilon /4 - \epsilon /4 = \epsilon /4
\end{equation*}
よって $\mathrm{dist}_X( C, \{x\} ) \ge \epsilon /4$ であり、$C \in \mathbf{B}$ かつ $b = [ \mathbf{B} ]$ より
\begin{equation*}
d_Y(b, \iota[x] ) \ge \epsilon /4
\end{equation*}
が得られるが、これは $x$ のとり方に矛盾する。従って($5$)が成立する。
以上で任意の $Y$ 上の超フィルター $\mathbf{F}$ について($3$)が成立することが示されたから、$Y$ は完備である。□
これで、超フィルターを用いた距離空間の完備化の構成法を示すことができました。
4. おわりに
いかがでしたでしょうか。この方法は、距離空間の完備化の構成法として普通にみられるコーシー列を用いたものに比べても相当ゴチャゴチャしていて、手法としてはあまり価値がなさそうな気もしますが、超フィルターのこのような利用法があるということ自体が面白いと思います。また、こちらの記事で紹介した「超準モデルを使った距離空間の完備化」とのアナロジーも感じることができます。一つの手法として紹介しました。
（前記事）
衣装も踊りも引き込まれるロシアの民族系バンド Otyken [音楽]
国としてはけしからんことばかりするロシアですが、音楽では色々と面白いバンドがあるようです。
中でも僕が最近とても惹かれているのは、「シベリア先住民音楽グループ」を名乗る Otyken というバンド。
MVを見ると、どれも自然の中で若い女性メンバーがミニスカの民族衣装で歌い踊っていて、とてもいいです。
森の中で1オクターブ上下する特徴的なメロディーで歌い踊る MY WING
雪原の中で絶叫しながら歌い踊る STORM
綺麗な山並みを眺める草原で単調だが飽きないリズムで歌い踊る LEGEND
歌い踊るミニスカ民族衣装美女たちと、朝青龍が髭面になったようなオッサンの低い声、時々入る口琴の響き、後ろで目立たず淡々と踊る仮面の男性、なんかとてもいいです。
公式ウェブサイトはこちら。歌はハカス語とチュリム語と時々ロシア語で、メンバーはチュリム人だそうです。チュリム人はシベリア中部のクラスノヤルスク地方のチュリム川沿いを発祥とする民族とのことです。
一度シベリアのこの辺も行ってみたいのですが、とても叶いそうにないですね。
中でも僕が最近とても惹かれているのは、「シベリア先住民音楽グループ」を名乗る Otyken というバンド。
MVを見ると、どれも自然の中で若い女性メンバーがミニスカの民族衣装で歌い踊っていて、とてもいいです。
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一度シベリアのこの辺も行ってみたいのですが、とても叶いそうにないですね。
