わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析（その17）

【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】

(17) 位相空間の超準的考察

　第7回で距離空間を超準的に考察しましたが、本記事では一般の位相空間を超準的に考察することにします。位相空間の諸概念が簡単な論理式で表現できて、とても面白いです。

1. 上部構造と広大性原理

　位相空間を超準的に考察するためには、超準モデルの「広大性原理」と呼ばれる性質が必要となります。まずこれを極めて雑にですが説明します。

　$X$ を無限集合とし、適切な無限集合 $I$ とその上の超フィルターを使って、第6回で示した方法を使って $X$ から超冪 ${}^*X$ を構成します。同一視によって $X \subseteq {}^*X$ とみなし、${}^*X$ は $X$ の真の拡大とすることができます。
　さらに考察の対象を広げて、$X$ から始めてその冪集合 $\mathscr{P}(X)$ との和集合 $X \cup \mathscr{P}(X)$ を作り、またその冪集合との和集合を作り、この作業を任意有限回繰り返してできる集合すべての和集合を $\mathcal{U}$ とします。これを「 $X$ の上部構造」と呼びます。また、 ${}^*X$ から始めて同様の操作で作られる「 ${}^*X$ の上部構造」を ${}^*\mathcal{U}$ とします。このとき $\mathcal{U}$ から ${}^*\mathcal{U}$ への写像 ${}^*$ を定義し、任意の $a \in \mathcal{U}$ に対して ${}^*a \in {}^*\mathcal{U}$ を対応させることができます。ただし $x \in X$ に対しては ${}^*x = x$ となります。
　本稿ではこうして作った ${}^*\mathcal{U}$ を $\mathcal{U}$ の超準モデルとよび、$a$ に対する ${}^*a$ を $a$ の超準拡大とよぶこととします（あまり標準的なよび方ではないかもしれません）。
　集合論言語の論理式 $\varphi(x_1, x_2, \cdots , x_n)$（ $x_1, x_2, \cdots , x_n$ 以外に自由変数を持たない）と任意の $a_1, a_2, \cdots , a_n \in \mathcal{U}$ に対して、次の移行原理が成り立ちます。

【移行原理】
$\varphi(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ が有界論理式のとき、$\mathcal{U}$ 上で \begin{equation*} \varphi(a_1, a_2, \cdots , a_n) \end{equation*} が成り立つことと、${}^*\mathcal{U}$ 上で \begin{equation*} \varphi({}^*a_1, {}^*a_2, \cdots , {}^*a_n) \end{equation*} が成り立つことは同値である。

　ここでは「有界論理式」についての詳細は省略します。移行原理によって、任意の $X$ の部分集合 $A, B$ に対して、例えば ${}^*(A \cap B) = {}^*A \cap {}^*B$ や $A \subseteq B \Leftrightarrow {}^*A \subseteq {}^*B$ などの法則が示されます（第1回を参照）。
　これに加え、超冪の構成で使用する $I$ とその上の超フィルターをうまくとると、次の広大性原理とよばれる性質が成り立ちます。

【広大性原理】
$\mathcal{U}$ 上の2項関係 $R \, (\subseteq A \times B, \ A, B \in \mathcal{U})$ が有限共起的であるとする。すなわち任意にとった有限個の $a_1, a_2, \cdots , a_n \in \mathrm{Dom}(R) \subseteq A$ に対して、$\mathcal{U}$ 上で \begin{equation*} \exists b \in B \, (\langle a_1, b \rangle \in R \land \langle a_2, b \rangle \in R \land \cdots \land \langle a_n, b \rangle \in R) \end{equation*} が成り立つとする。このとき ${}^*\mathcal{U}$ 上で次が成り立つ。 \begin{equation*} \exists b \in {}^*B \, \forall a \in \mathrm{Dom}(R) \, (\langle {}^*a, b \rangle \in {}^*R) \end{equation*}

　本記事では、超準モデルでは常に広大性原理が成立するものとします。

2. 位相空間の基本概念の超準的考察

　$\langle X, \mathcal{O} \rangle$ を無限個の元をもつ位相空間とします。$\mathcal{O}$ は開集合系で、以降これを簡単に「位相空間 $X$」と呼びます。$x \in X, A \in \mathscr{P}(X)$ に対して $A$ が $x$ の近傍であるとは、$x \in B \subseteq A$ となる開集合 $B$ が存在することです。$x \in X$ に対して $x$ の近傍の全体を $\mathcal{N}(x)$ とかくこととします。
　ここで、超準モデルを使ってモナドと呼ばれる次の集合を定義します。

【定義1】（モナド）
$x \in X$ に対し、次によって定まる $^*X$ の部分集合 $\mathrm{monad}(x)$ を「$x$ のモナド」と呼ぶ。 \begin{equation*} \mathrm{monad}(x) = \bigcap \{ \, {}^*A \, \mid \, A \in \mathcal{N}(x) \, \} \end{equation*}

　必ず $x \in \mathrm{monad}(x)$ なので、これは空集合にはなりません。このとき次が成立します。

【定理2】（近傍の超準モデルによる同値条件）
$x \in X, A \in \mathscr{P}(X)$ に対して、次が成立する。 \begin{equation*} A \in \mathcal{N}(x) \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*A \end{equation*}

（証明）
$\Rightarrow$ の証明：モナドの定義から明らか。
$\Leftarrow$ の証明：$\mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*A$ とし、$A \notin \mathcal{N}(x)$ を仮定して矛盾を導く。このとき任意の $B \in \mathcal{N}(x)$ に対して $B \not\subseteq A$ であるから $\exists y \in X \, (y \in B \setminus A)$ である。そこで、$\mathcal{N}(x) \times X$ 上の関係 $R$ を
\begin{equation*}
R = \{ \, \langle B, y \rangle \in \mathcal{N}(x) \times X \, \mid \, y \in B \setminus A \, \}
\end{equation*}
によって定めると、任意有限個の $B_1, B_2, \cdots , B_n \in \mathcal{N}(x)$ に対して $B_1 \cap B_2 \cap \cdots \cap B_n \in \mathcal{N}(x)$ だから、
\begin{equation*}
\exists y \in X \, (\langle B_1, y \rangle \in R \land \langle B_2, y \rangle \in R \land \cdots \land \langle B_n, y \rangle \in R)
\end{equation*}
が成り立ち、$R$ は有限共起的である。従って広大性原理によって
\begin{equation*}
\exists y \in {}^*X \, \forall B \in \mathcal{N}(x) \, (\langle {}^*B, y \rangle \in {}^*R)
\end{equation*}
すなわち
\begin{equation*}
\exists y \in {}^*X \, \forall B \in \mathcal{N}(x) \, (y \in {}^*B \setminus {}^*A)
\end{equation*}
が成り立つ。これより
\begin{equation*}
\exists y \in {}^*X \, (y \in \mathrm{monad}(x) \setminus {}^*A)
\end{equation*}
が従い、これは $\mathrm{monad}(x) \not\subseteq {}^*A$ を意味するから矛盾である。□

　これを基本として、位相空間の様々な概念を超準モデルの論理式で表すことができます。

【定理3】（位相空間の諸概念の超準モデルによる同値条件）
$x \in X, A \in \mathscr{P}(X)$ に対して、次表の同値な対応関係が成立する。

	位相的概念	超準モデル上の同値条件
i)	$A$ が開集合	$\forall x \in A \, (\mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*A)$
ii)	$A$ が閉集合	$\forall x \in X \, (\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset \to x \in A)$
iii)	$x$ が $A$ の内点	$\mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*A$
iv)	$x$ が $A$ の触点	$\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset$
v)	$x$ が $A$ の境界点	$\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset \land \mathrm{monad}(x) \cap ({}^*X \setminus {}^*A) \neq \emptyset$
vi)	$x$ が $A$ の孤立点	$\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A = \{ x \}$
vii)	$x$ が $A$ の集積点	$(\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A) \setminus \{x\} \neq \emptyset$
viii)	$A$ が自己稠密	$\forall x \in A \, ((\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A) \setminus \{x\} \neq \emptyset)$
ix)	$A$ が $X$ において稠密	$\forall x \in X \, (\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset)$

（証明）
i) $A$ が開集合 $\quad \Leftrightarrow \quad A$ が $A$ の各点 $x$ の近傍
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x \in A \, (\mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*A)$
ii) $A$ が閉集合 $\quad \Leftrightarrow \quad X \setminus A$ が開集合
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x \in X \setminus A \, (\mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*X \setminus {}^*A)$
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x \in X \, (x \notin A \to \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A = \emptyset)$
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x \in X \, (\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset \to x \in A)$
iii) $x$ が $A$ の内点 $\quad \Leftrightarrow \quad A$ が $x$ の近傍 $\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*A$
iv) $x$ が $A$ の触点 $\quad \Leftrightarrow \quad x$ が $X \setminus A$ の内点でない $\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \not\subseteq {}^*X \setminus {}^*A$
$\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset$
v) $x$ が $A$ の境界点 $\quad \Leftrightarrow \quad x$ が $A$ と $X \setminus A$ の両方の触点
$\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset \land \mathrm{monad}(x) \cap ({}^*X \setminus {}^*A) \neq \emptyset$
vi) $x$ が $A$ の孤立点 $\quad \Leftrightarrow \quad \exists B \in \mathcal{N}(x) \, (B \cap A = \{ x \} )$
$\quad \Leftrightarrow \quad \exists B \in \mathcal{N}(x) \, (B \subseteq (X \setminus A) \cup \{ x \} \land x \in A)$
$\quad \Leftrightarrow \quad \exists B \in \mathcal{N}(x) \, ({}^*B \subseteq ({}^*X \setminus {}^*A) \cup \{ x \} \land x \in {}^*A)$ （移行原理）
$\quad \Leftrightarrow \quad \exists B \in \mathscr{P}(X) \, (\mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*B \subseteq ({}^*X \setminus {}^*A) \cup \{ x \} \land x \in {}^*A)$
$\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \subseteq ({}^*X \setminus {}^*A) \cup \{ x \} \land x \in {}^*A$
$\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A = \{ x \}$
vii) $x$ が $A$ の集積点 $\quad \Leftrightarrow \quad$ $x$ が $A$ の触点であり、かつ孤立点でない
$\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset \land \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \{ x \}$
$\quad \Leftrightarrow \quad ( \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A) \setminus \{ x \} \neq \emptyset$
viii) $A$ が自己稠密 $\quad \Leftrightarrow \quad A$ の各点が $A$ の集積点
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x \in A \, ( ( \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A) \setminus \{ x \} \neq \emptyset )$
ix) $A$ が $X$ において稠密 $\quad \Leftrightarrow \quad X$ の各点が $A$ の触点
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x \in X \, ( \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset )$
□

　【定理3】の表の論理式は、第7回で紹介した距離空間における表の右側欄と同じになっていることがわかります。距離空間は位相空間の特別なものなので、この結果は整合が取れています。

3. 分離公理とコンパクト性

　2種類の分離公理について、超準モデルによる同値条件を示します。

【定理4】（$\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ 分離公理の超準モデルによる同値条件）
i) $X$ が $\mathrm{T}_1$ である $\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to y \notin \mathrm{monad}(x) \land x \notin \mathrm{monad}(y))$
ii) $X$ が $\mathrm{T}_2$（ハウスドルフ）である $\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to \mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(y) = \emptyset )$

（証明）
i) $X$ が $\mathrm{T}_1$ である
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to \exists A \in \mathcal{N}(x) \, (y \notin A) \land \exists B \in \mathcal{N}(y) \, (x \notin B))$
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to \exists A \in \mathcal{N}(x) \, (y \notin {}^*A) \land \exists B \in \mathcal{N}(y) \, (x \notin {}^*B))$ （移行原理）
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to y \notin \mathrm{monad}(x) \land x \notin \mathrm{monad}(y))$
ii) $X$ が $\mathrm{T}_2$（ハウスドルフ）である
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to \exists A \in \mathcal{N}(x) \, \exists B \in \mathcal{N}(y) \, (A \cap B = \emptyset))$
$\quad \Leftrightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to \exists A \in \mathcal{N}(x) \, \exists B \in \mathcal{N}(y) \, ({}^*A \cap {}^*B = \emptyset))$ （移行原理）
$\quad \Rightarrow \quad \forall x, y \in X \, (x \neq y \to \mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(y) = \emptyset )$
逆に $\forall x, y \in X \, (x \neq y \to \mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(y) = \emptyset )$ かつ $X$ がハウスドルフでないと仮定すると、ある $x, y \in X, x \neq y$ が存在して、
\begin{equation*}
\forall A \in \mathcal{N}(x) \, \forall B \in \mathcal{N}(y) \, (A \cap B \neq \emptyset))
\end{equation*}
すなわち
\begin{equation*}
\forall A \in \mathcal{N}(x) \, \forall B \in \mathcal{N}(y) \, \exists z \in X \, (z \in A \cap B)
\end{equation*}
となる。そこで $(\mathcal{N}(x) \times \mathcal{N}(y)) \times X$ 上の関係 $R$ を、
\begin{equation*}
R = \{ \, \langle \langle A, B \rangle , z \rangle \in (\mathcal{N}(x) \times \mathcal{N}(y)) \times X \, \mid \, z \in A \cap B \, \}
\end{equation*}
によって定めると、$R$ は明らかに有限共起的だから、広大性原理によって、
\begin{equation*}
\exists z \in {}^*X \, \forall A \in \mathcal{N}(x) \, \forall B \in \mathcal{N}(y) \, (z \in {}^*A \cap {}^*B)
\end{equation*}
が成り立つ。よって $\exists z \in {}^*X \, (z \in \mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(y))$ となるが、これは $\mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(y) = \emptyset$ と矛盾する。よって、
$\forall x, y \in X \, (x \neq y \to \mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(y) = \emptyset ) \quad \Rightarrow \quad X$ が$\mathrm{T}_2$（ハウスドルフ）である
□

　この定理より、$\mathrm{T}_1$ 空間は「どの点も他の点のモナドに属さない空間」、ハウスドルフ空間は「異なる点のモナドが交わらない空間」とイメージできます。特にハウスドルフ空間を簡単に言うと「モナドがダブらない空間」です。
　また、コンパクト性については、次の非常に簡明な同値条件があります。

【定理5】（コンパクト性の超準モデルによる同値条件）
$A \subseteq X$ とすると、次が成立する。

$A$ がコンパクトである $\quad \Leftrightarrow \quad \forall y \in {}^*A \, \exists x \in A \, (y \in \mathrm{monad}(x))$

（証明）
　$\Rightarrow$ の証明：$A$ がコンパクトとする。$\exists y \in {}^*A \, \forall x \in A \, (y \notin \mathrm{monad}(x))$ を仮定して矛盾を導く。これをみたす $y$ をとると、任意の $x \in A$ に対して開近傍 $B(x) \in \mathcal{N}(x) \cap \mathcal{O}$ が存在して $y \notin {}^*B(x)$ となる。すると、
\begin{equation*}
\{ \, B(x) \, \mid \, x \in A \, \}
\end{equation*}
は $A$ の開被覆であり、$A$ はコンパクトだから有限個の $x_1, x_2, \cdots , x_n$ がとれて、
\begin{equation*}
A \subseteq B(x_1) \cup B(x_2) \cup \cdots \cup B(x_n)
\end{equation*}
とすることができる。移行原理より、
\begin{equation*}
{}^*A \subseteq {}^*B(x_1) \cup {}^*B(x_2) \cup \cdots \cup {}^*B(x_n)
\end{equation*}
かつ $y \notin {}^*B(x_1) \cup {}^*B(x_2) \cup \cdots \cup {}^*B(x_n)$ だから $y \notin {}^*A$ となるが、これは矛盾である。
$\Leftarrow$ の証明：$\forall y \in {}^*A \, \exists x \in A \, (y \in \mathrm{monad}(x))$ とする。$A$ がコンパクトでないと仮定して矛盾を導く。$A$ の開被覆 $\mathcal{C}$ で、有限個の元をどのようにとっても $A$ の被覆にならないものが存在する。このとき $\mathcal{C} \times A$ 上の関係 $R$ を、
\begin{equation*}
R = \{ \, \langle B, y \rangle \in \mathcal{C} \times A \, \mid \, y \notin B \, \}
\end{equation*}
によって定めると、任意有限個の $B_1, B_2, \cdots , B_n \in \mathcal{C}$ に対して $A \setminus (B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n) \neq \emptyset$ だから、
\begin{equation*}
\exists y \in A \, (\langle B_1, y \rangle \in R \land \langle B_2, y \rangle \in R \land \cdots \land \langle B_n, y \rangle \in R)
\end{equation*}
となって $R$ は有限共起的である。従って広大性原理より、
\begin{equation*}
\exists y \in {}^*A \, \forall B \in \mathcal{C} \, (\langle {}^*B, y \rangle \in {}^*R)
\end{equation*}
すなわち
\begin{equation*}
\exists y \in {}^*A \, \forall B \in \mathcal{C} \, (y \notin {}^*B)
\end{equation*}
である。これをみたす $y$ をとると、$y \in \mathrm{monad}(x)$ となる $x \in A$ が存在し、この $x$ に対し $x \in B_0 \in \mathcal{C}$ となる開集合 $B_0$ が存在するから、
\begin{equation*}
y \in \mathrm{monad}(x) \subseteq {}^*B_0
\end{equation*}
すなわち $y \in {}^*B_0$ となるが、一方で $\forall B \in \mathcal{C} \, (y \notin {}^*B)$ より $y \notin {}^*B_0$ だから矛盾である。□

　この定理より、コンパクト集合は「超準拡大が各点のモナドで覆い切れる集合」とイメージできます。もっと簡単に言うと「モナドに漏れがない集合」です。この結果も第8回の距離空間に関する結果と整合が取れていることがわかります。
　そうすると、ハウスドルフでかつコンパクトな位相空間は「モナドにダブリも漏れもない空間」、どこかで聞いた用語を使うと「モナドがMECEな空間」となります。イメージしやすいですね。

　これらの同値条件を使うと、例えば次の定理が論理式を使った簡単な考察だけで証明できます。

【定理6】$A \subseteq X$ とすると、次が成立する。
i) $X$ がコンパクトのとき、$A$ が閉集合ならばコンパクトである。
ii) $X$ がハウスドルフのとき、$A$ がコンパクトならば閉集合である。

（証明）
i) 任意に $y \in {}^*A$ をとる。$X$ がコンパクトだから【定理5】より $y \in \mathrm{monad}(x)$ となる $x \in X$ が存在する。$y \in \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A$ すなわち $\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset$ で、$A$ は閉集合だから、【定理3】ii) より $x \in A$ となる。従って $\forall y \in {}^*A \, \exists x \in A \, (y \in \mathrm{monad}(x))$ であるから、再び【定理5】より $A$ はコンパクトである。
ii) 任意に $\mathrm{monad}(x) \cap {}^*A \neq \emptyset$ をみたす $x \in X$ をとる。$y \in \mathrm{monad}(x) \cap {}^*A$ をとると、$A$ がコンパクトだから【定理5】より $y \in \mathrm{monad}(x')$ となる $x' \in A$ がある。$\mathrm{monad}(x) \cap \mathrm{monad}(x') \neq \emptyset$ で $X$ がハウスドルフだから、【定理4】ii) より $x = x'$ であり、これより $x \in A$ となる。従って【定理3】ii) より $A$ は閉集合である。
□

　なお、$\exists x \in X \, (y \in \mathrm{monad}(x))$ をみたす $y \in {}^*X$ を ${}^*X$ の近標準点といい、そうでない $y \in {}^*X$ を ${}^*X$ の遠標準点といいます。この用語を使うと、空間 $X$ 自身がコンパクトであることは「すべての ${}^*X$ の点が近標準点である」ことと同値です。

［参考文献］
　中村　徹『超準解析と物理学（増補改訂版）』（日本評論社, 2017）

（続く）（前記事）（目次）