チェザロ平均の収束の超準解析での証明例

　超準解析を使った簡単な証明例を紹介します。
　個人的には、この短い証明の中に超準解析の入口としての面白さが凝縮されているような気がしています。

【定理】
　実数列 $\{a_n\}$ が実数 $\alpha$ に収束するとき、チェザロ平均と呼ばれる
\[c_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{n} = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \]
で定まる実数列 $\{c_n\}$ も $\alpha$ に収束する。

（証明）
　$\{a_n\}, \, \{c_n\}$ とも超準拡大によって添字を無限大超自然数の範囲まで広げておく。$n$ が任意にとった無限大超自然数のとき $c_n \approx \alpha$（無限に近いこと）を示せばよい。$m<\sqrt{n}$ をみたす無限大超自然数 $m$ がとれる。 $\{a_n\}$ は有界だから $\{ \left| a_n - \alpha \right| \}$ の上界となる実数 $M$ がとれ、また $\displaystyle \mu = \max_{m+1 \le k \le n} \left| a_k - \alpha \right|$ が存在し、 $\{a_n\}$ が$\alpha$ に収束するからこの $\mu$ は無限小である。従って、
\[\left| c_n - \alpha \right| = \left| \sum_{k=1}^n \frac{a_k - \alpha}{n} \right| \le \sum_{k=1}^m \frac{\left| a_k - \alpha \right|}{n} + \sum_{k=m+1}^n \frac{\left| a_k - \alpha \right|}{n} \le \frac{Mm}{n} + \frac{\mu (n-m)}{n} < \frac{M}{\sqrt{n}} + \mu \approx 0 \]
より $c_n \approx \alpha$ が得られる。（証明終）

　この証明に使われている超準解析らしい面白ポイントは次のものが挙げられるでしょう。
①無限大にも（正ならば）平方根が存在し、それもまた無限大であること。
②あたかも有限個の和と同じように「無限大超自然数個の和」が扱えること。
③数列の有限個の範囲で最大値が存在するのと同じように、無限大超自然数の範囲でも最大値が存在すること。
　これらはみんな、実数の世界で成立する性質を移行原理によって超実数の世界に持っていったものなので、同様に成立するわけです。