わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析（その14） [数学]
【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】
(14) 超有理数から導くp進数とp進展開
第12回の記事で超有理数体を用いて$p$進数体 $\mathbb{Q}_p$ を構成する方法に触れました。今回はそこを若干突っ込んで、任意の$p$進数が$p$進展開できることを超有理数を利用して証明します。
（ちょっと弁解：今回の議論はあまり突っ込みすぎると「超有理数の*有限和」という概念に至ってしまい、それについては僕自身十分に理解していません。ですので今回はそこはちょっと逃げて、あくまで普通の「有限和」の範囲でできる議論にとどめます。その意味で今回の記事はかなり中途半端です。そろそろ「わかってない奴」の馬脚が現れてきましたw）
全体を通じて、$p$はある固定された素数（普通の自然数の素数）とします。この$p$に対して$p$進絶対値と呼ぶ$\mathbb{Q}$上の1変数関数を次で定義します。
このとき、$p$進絶対値は次の性質をみたします（証明省略）。
［$p$進絶対値の性質］
① $\left| x \right|_p \ge 0 \land ( \left| x \right|_p = 0 \leftrightarrow x = 0 )$
② $\left| xy \right|_p = \left| x \right|_p \left| y \right|_p$
③ $\left| x+y \right|_p \le \mathrm{max} \{ \left| x \right|_p , \left| y \right|_p \} \le \left| x \right|_p + \left| y \right|_p$
この絶対値を用いて$\mathbb{Q}$を完備化した体 $\mathbb{Q}_p$ を$p$進数体と呼ぶことは第12回で触れたとおりです。ここでは $\mathbb{Q}_p$ は第12回の方法で超有理数体を用いて構成されたものとします。
さて、整数環$\mathbb{Z}$において「$a$が$b$を割り切る」という関係 $a \mid b$ は、一階の論理式で
\[ a \mid b \quad \Leftrightarrow \quad \exists c \, (ac = b) \]
のように表されます。従ってこの関係は超整数環${}^*\mathbb{Z}$まで拡大できて、${}^*\mid$ を同じ記号 $\mid$ で表すと${}^*\mathbb{Z}$においても同様に、
\[ a \mid b \quad \Leftrightarrow \quad \exists c \, (ac = b) \]
が成り立ちます。本記事では${}^*\mathbb{Z}$におけるこの関係も「$a$が$b$を割り切る」ということにします。否定 $\nmid$ についても同様です。
同様に、「$a$を正数$b$で割ると余り$d$が得られて $0 \le d < b$ が成り立つ」という$\mathbb{Z}$における定理は、
\[ \forall a,b \, (b > 0 \to \exists c,d \, (a = bc + d \land 0 \le d < b)) \]
と一階の論理式で表されるので、移行原理より${}^*\mathbb{Z}$においてもこれが成り立ちます。このように$\mathbb{Z}$で成り立つ初等整数論の多くの結果が、移行原理を適切に用いることにより${}^*\mathbb{Z}$においても成り立ちますので、本記事の議論ではこれらを断りなしに用いることにします。
${}^*\mathbb{Q}$における$p$進絶対値（$\mathbb{Q}$における$p$進絶対値の超準拡大）は、移行原理より$\mathbb{Q}$における定義の$\mathbb{Z}$を${}^*\mathbb{Z}$に置き換えたものに一致します。またこのとき、$p$進絶対値の性質もそのまま成り立ちます。
次の補題は普通の$p$進数体の議論で使われるものですが、${}^*\mathbb{Q}$においても全く同様に成立し、証明も同じ方法で行えます。
（証明）$x=0$ ならば明らかだから、以下 $x \ne 0$ とする。仮定 $\left| x \right| _p \le 1$ より、ある $b,c \in {}^*\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}$ があって
\[ x = b/c \land p \nmid c \]
とすることができる。$p$は素数だから$p$と$c$は互いに素であり、よってある $q,r \in {}^*\mathbb{Z}$ があって
\[ qc + rp = 1 \]
とすることができる。$b = xc$ より、
\[ x - qb = x(1 - qc) = xrp \]
であるから、$\left| x \right| _p \le 1$ より
\[ \left| x-qb \right| _p = \left| x \right| _p \left| rp \right| _p \le p^{-1} \]
となる。ここで、ある $s,a_0 \in {}^*\mathbb{Z}$ があって
\[ qb = sp + a_0 \land 0 \le a_0 < p \]
とすることができ、このとき $a_0$ は$p$未満の自然数である。これと$p$進絶対値の性質③を用いると、
\[ \left| x-a_0 \right| _p = \left| x-qb+sp \right| _p \le \max \{ \left| x-qb \right| _p, \left| sp \right| _p \} \le p^{-1} \]
となるから、証明すべき結論の $n=0$ の場合
\[ \left| x-a_0 \right| _p \le p^{-1} \]
が得られる。
次に、$n$のときに結論が成立すると仮定する。すなわち$p$未満の自然数 $a_0, a_1 \cdots a_n$ が存在して、
\[ \left| x - \sum^n_{k=0} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
であるとする。このとき、
\[ \left| p^{-n-1} (x - \sum^n_{k=0} a_kp^k) \right|_p \le 1 \]
であるので、先ほどの結果を用いると、ある$p$未満の自然数 $a_{n+1}$ が存在して
\[ \left| p^{-n-1} (x - \sum^n_{k=0} a_kp^k) - a_{n+1} \right| _p \le p^{-1} \]
となり、これより
\[ \left| x - \sum^{n+1}_{k=0} a_kp^k \right| _p = p^{-(n+1)} \left| p^{-n-1} (x - \sum^n_{k=0} a_kp^k) - a_{n+1} \right| _p \le p^{-(n+1)-1} \]
が得られる。従って $n+1$ のときにも結論が成立し、数学的帰納法により証明は完了した。□
（証明）$\left| x \right|_p$ が有限超実数だから、自然数$m$を十分大きくとれば $\left| x \right|_p \le p^m$ であり、これより $\left| p^mx \right|_p = p^{-m} \left| x \right|_p\le 1$ である。よって【補題1】より $m+n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n$ が存在して、
\[ \left| p^mx - \sum^{m+n}_{k=0} a_{k-m}p^k \right|_p \le p^{-(m+n)-1} \]
とすることができ、これより
\[ p^{-m} \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-m}p^{-n-1} \]
となるから$(1)$が得られる。これで存在性が証明できた。
一意性を示すため、ある $x \in {}^*\mathbb{Q}$ と自然数$n$に対し、
\[ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \land \left| x - \sum^n_{k=-m} b_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
をみたす自然数$m$と $(m+n+1) \times 2$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n, b_{-m}, \cdots ,b_0, \cdots ,b_n$ が存在すると仮定する（$m$は十分大きくとることにより共通としてよい）。$p$進絶対値の性質③は ${}^*\mathbb{Q}$ においても成り立つから、
\[ \left| \sum^n_{k=-m} (a_k - b_k)p^k \right|_p \le \max \left\{ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p , \left| x - \sum^n_{k=-m} b_kp^k \right|_p \right\} \le p^{-n-1} \]
が成り立つ。このときもしある $k \ (-m \le k \le n)$ に対して $a_k \neq b_k$ ならば、そのような$k$のうち最小のものを$k_0$とすると、
\[ \left| \sum^n_{k=k_0} (a_k - b_k)p^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
であり、左辺の絶対値の中は
\[ \sum^n_{k=k_0} (a_k - b_k)p^k = p^{k_0}( (a_{k_0} - b_{k_0}) + \sum^{n-k_0}_{k=1} (a_{k-k_0} - b_{k-k_0})p^k) \]
と表される。$-p < a_{k_0} - b_{k_0} < p \land a_{k_0} - b_{k_0} \neq 0$ だから、
\[ p \nmid ( (a_{k_0} - b_{k_0}) + \sum^{n-k_0}_{k=1} (a_{k-k_0} - b_{k-k_0})p^k) \]
であり、従って
\[ \left| \sum^n_{k=k_0} (a_k - b_k)p^k \right|_p = p^{-k_0} \le p^{-n-1} \]
となり、これから $-k_0 \le -n-1$ すなわち $k_0 \ge n+1$ が従うが、これは $-m \le k_0 \le n$ と矛盾する。よってすべての $k \ (-m \le k \le n)$ に対して $a_k = b_k$ が成り立ち、従って$(1)$をみたす有限和は一意に定まる。□
${}^*\mathbb{Q}$におけるこれらの補題を用いると、$\mathbb{Q}_p$における$p$進展開の存在と一意性が示されます。
（証明）第12回の記号を用いて $x = [y] \ (y \in {}^*\mathbb{Q})$ とする。このとき第12回【補題1】より $\left| y \right|_p$ は有限超実数だから、【補題2】よりある自然数$m$と $m+n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n$ が存在して、
\[ \left| y - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
をみたし、
\[ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p = \mathrm{st} \left( \left| y - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \right) \le p^{-n-1} \]
であるから$(2)$が成り立つ。一意性も【補題2】から従う。□
この定理によって、任意の $x \in \mathbb{Q}_p$ は$(2)$の形の有限和で$p$進距離の意味でいくらでも高精度に近似でき、従って$n$を無限に大きくしたときに定まる次の形の無限級数
\[ \sum^\infty_{k=-m} a_kp^k \]
は$p$進距離の意味で$x$に収束します。この無限級数は$x$の$p$進展開とよばれ、任意の$p$進数は一意的に$p$進展開できるということになります。
（続く）（前記事）（目次）
(14) 超有理数から導くp進数とp進展開
第12回の記事で超有理数体を用いて$p$進数体 $\mathbb{Q}_p$ を構成する方法に触れました。今回はそこを若干突っ込んで、任意の$p$進数が$p$進展開できることを超有理数を利用して証明します。
（ちょっと弁解：今回の議論はあまり突っ込みすぎると「超有理数の*有限和」という概念に至ってしまい、それについては僕自身十分に理解していません。ですので今回はそこはちょっと逃げて、あくまで普通の「有限和」の範囲でできる議論にとどめます。その意味で今回の記事はかなり中途半端です。そろそろ「わかってない奴」の馬脚が現れてきましたw）
全体を通じて、$p$はある固定された素数（普通の自然数の素数）とします。この$p$に対して$p$進絶対値と呼ぶ$\mathbb{Q}$上の1変数関数を次で定義します。
【定義】$x \in \mathbb{Q}$ に対し、次によって$p$進絶対値 $\left| x \right|_p$ を定める。
(1) $x \neq 0$ のとき、 \[ \exists ! n \in \mathbb{Z} \, \exists a,b \in \mathbb{Z} \, ( x = p^n \cdot \frac{a}{b} \land p \nmid a \land p \nmid b) \] が成り立つので、これをみたす$n$を用いて $\left| x \right|_p = p^{-n}$ と定める。
(2) $x = 0$ のとき $\left| x \right|_p = 0$ と定める。
(1) $x \neq 0$ のとき、 \[ \exists ! n \in \mathbb{Z} \, \exists a,b \in \mathbb{Z} \, ( x = p^n \cdot \frac{a}{b} \land p \nmid a \land p \nmid b) \] が成り立つので、これをみたす$n$を用いて $\left| x \right|_p = p^{-n}$ と定める。
(2) $x = 0$ のとき $\left| x \right|_p = 0$ と定める。
このとき、$p$進絶対値は次の性質をみたします（証明省略）。
［$p$進絶対値の性質］
① $\left| x \right|_p \ge 0 \land ( \left| x \right|_p = 0 \leftrightarrow x = 0 )$
② $\left| xy \right|_p = \left| x \right|_p \left| y \right|_p$
③ $\left| x+y \right|_p \le \mathrm{max} \{ \left| x \right|_p , \left| y \right|_p \} \le \left| x \right|_p + \left| y \right|_p$
この絶対値を用いて$\mathbb{Q}$を完備化した体 $\mathbb{Q}_p$ を$p$進数体と呼ぶことは第12回で触れたとおりです。ここでは $\mathbb{Q}_p$ は第12回の方法で超有理数体を用いて構成されたものとします。
さて、整数環$\mathbb{Z}$において「$a$が$b$を割り切る」という関係 $a \mid b$ は、一階の論理式で
\[ a \mid b \quad \Leftrightarrow \quad \exists c \, (ac = b) \]
のように表されます。従ってこの関係は超整数環${}^*\mathbb{Z}$まで拡大できて、${}^*\mid$ を同じ記号 $\mid$ で表すと${}^*\mathbb{Z}$においても同様に、
\[ a \mid b \quad \Leftrightarrow \quad \exists c \, (ac = b) \]
が成り立ちます。本記事では${}^*\mathbb{Z}$におけるこの関係も「$a$が$b$を割り切る」ということにします。否定 $\nmid$ についても同様です。
同様に、「$a$を正数$b$で割ると余り$d$が得られて $0 \le d < b$ が成り立つ」という$\mathbb{Z}$における定理は、
\[ \forall a,b \, (b > 0 \to \exists c,d \, (a = bc + d \land 0 \le d < b)) \]
と一階の論理式で表されるので、移行原理より${}^*\mathbb{Z}$においてもこれが成り立ちます。このように$\mathbb{Z}$で成り立つ初等整数論の多くの結果が、移行原理を適切に用いることにより${}^*\mathbb{Z}$においても成り立ちますので、本記事の議論ではこれらを断りなしに用いることにします。
${}^*\mathbb{Q}$における$p$進絶対値（$\mathbb{Q}$における$p$進絶対値の超準拡大）は、移行原理より$\mathbb{Q}$における定義の$\mathbb{Z}$を${}^*\mathbb{Z}$に置き換えたものに一致します。またこのとき、$p$進絶対値の性質もそのまま成り立ちます。
次の補題は普通の$p$進数体の議論で使われるものですが、${}^*\mathbb{Q}$においても全く同様に成立し、証明も同じ方法で行えます。
【補題1】$x \in {}^*\mathbb{Q}, \ \left| x \right| _p \le 1$ ならば、任意の自然数$n$ に対して $n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_0, a_1 \cdots a_n$ が存在して、
\[ \left| x - \sum^n_{k=0} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
とすることができる。
（証明）$x=0$ ならば明らかだから、以下 $x \ne 0$ とする。仮定 $\left| x \right| _p \le 1$ より、ある $b,c \in {}^*\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}$ があって
\[ x = b/c \land p \nmid c \]
とすることができる。$p$は素数だから$p$と$c$は互いに素であり、よってある $q,r \in {}^*\mathbb{Z}$ があって
\[ qc + rp = 1 \]
とすることができる。$b = xc$ より、
\[ x - qb = x(1 - qc) = xrp \]
であるから、$\left| x \right| _p \le 1$ より
\[ \left| x-qb \right| _p = \left| x \right| _p \left| rp \right| _p \le p^{-1} \]
となる。ここで、ある $s,a_0 \in {}^*\mathbb{Z}$ があって
\[ qb = sp + a_0 \land 0 \le a_0 < p \]
とすることができ、このとき $a_0$ は$p$未満の自然数である。これと$p$進絶対値の性質③を用いると、
\[ \left| x-a_0 \right| _p = \left| x-qb+sp \right| _p \le \max \{ \left| x-qb \right| _p, \left| sp \right| _p \} \le p^{-1} \]
となるから、証明すべき結論の $n=0$ の場合
\[ \left| x-a_0 \right| _p \le p^{-1} \]
が得られる。
次に、$n$のときに結論が成立すると仮定する。すなわち$p$未満の自然数 $a_0, a_1 \cdots a_n$ が存在して、
\[ \left| x - \sum^n_{k=0} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
であるとする。このとき、
\[ \left| p^{-n-1} (x - \sum^n_{k=0} a_kp^k) \right|_p \le 1 \]
であるので、先ほどの結果を用いると、ある$p$未満の自然数 $a_{n+1}$ が存在して
\[ \left| p^{-n-1} (x - \sum^n_{k=0} a_kp^k) - a_{n+1} \right| _p \le p^{-1} \]
となり、これより
\[ \left| x - \sum^{n+1}_{k=0} a_kp^k \right| _p = p^{-(n+1)} \left| p^{-n-1} (x - \sum^n_{k=0} a_kp^k) - a_{n+1} \right| _p \le p^{-(n+1)-1} \]
が得られる。従って $n+1$ のときにも結論が成立し、数学的帰納法により証明は完了した。□
【補題2】$x \in {}^*\mathbb{Q}$ かつ $\left| x \right| _p$ が有限超実数ならば、任意の自然数$n$に対して、ある自然数$m$と $m+n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n$ が存在して、
\[ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \tag{1} \]
とすることができる。さらにこの形の有限和は一意に定まる。
（証明）$\left| x \right|_p$ が有限超実数だから、自然数$m$を十分大きくとれば $\left| x \right|_p \le p^m$ であり、これより $\left| p^mx \right|_p = p^{-m} \left| x \right|_p\le 1$ である。よって【補題1】より $m+n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n$ が存在して、
\[ \left| p^mx - \sum^{m+n}_{k=0} a_{k-m}p^k \right|_p \le p^{-(m+n)-1} \]
とすることができ、これより
\[ p^{-m} \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-m}p^{-n-1} \]
となるから$(1)$が得られる。これで存在性が証明できた。
一意性を示すため、ある $x \in {}^*\mathbb{Q}$ と自然数$n$に対し、
\[ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \land \left| x - \sum^n_{k=-m} b_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
をみたす自然数$m$と $(m+n+1) \times 2$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n, b_{-m}, \cdots ,b_0, \cdots ,b_n$ が存在すると仮定する（$m$は十分大きくとることにより共通としてよい）。$p$進絶対値の性質③は ${}^*\mathbb{Q}$ においても成り立つから、
\[ \left| \sum^n_{k=-m} (a_k - b_k)p^k \right|_p \le \max \left\{ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p , \left| x - \sum^n_{k=-m} b_kp^k \right|_p \right\} \le p^{-n-1} \]
が成り立つ。このときもしある $k \ (-m \le k \le n)$ に対して $a_k \neq b_k$ ならば、そのような$k$のうち最小のものを$k_0$とすると、
\[ \left| \sum^n_{k=k_0} (a_k - b_k)p^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
であり、左辺の絶対値の中は
\[ \sum^n_{k=k_0} (a_k - b_k)p^k = p^{k_0}( (a_{k_0} - b_{k_0}) + \sum^{n-k_0}_{k=1} (a_{k-k_0} - b_{k-k_0})p^k) \]
と表される。$-p < a_{k_0} - b_{k_0} < p \land a_{k_0} - b_{k_0} \neq 0$ だから、
\[ p \nmid ( (a_{k_0} - b_{k_0}) + \sum^{n-k_0}_{k=1} (a_{k-k_0} - b_{k-k_0})p^k) \]
であり、従って
\[ \left| \sum^n_{k=k_0} (a_k - b_k)p^k \right|_p = p^{-k_0} \le p^{-n-1} \]
となり、これから $-k_0 \le -n-1$ すなわち $k_0 \ge n+1$ が従うが、これは $-m \le k_0 \le n$ と矛盾する。よってすべての $k \ (-m \le k \le n)$ に対して $a_k = b_k$ が成り立ち、従って$(1)$をみたす有限和は一意に定まる。□
${}^*\mathbb{Q}$におけるこれらの補題を用いると、$\mathbb{Q}_p$における$p$進展開の存在と一意性が示されます。
【定理3】任意の $x \in \mathbb{Q}_p$ と自然数$n$に対し、ある自然数$m$と $m+n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n$ が存在して、
\[ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \tag{2} \]
とすることができる。さらにこの形の有限和は一意に定まる。
（証明）第12回の記号を用いて $x = [y] \ (y \in {}^*\mathbb{Q})$ とする。このとき第12回【補題1】より $\left| y \right|_p$ は有限超実数だから、【補題2】よりある自然数$m$と $m+n+1$ 個の$p$未満の自然数 $a_{-m}, \cdots ,a_0, \cdots ,a_n$ が存在して、
\[ \left| y - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \le p^{-n-1} \]
をみたし、
\[ \left| x - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p = \mathrm{st} \left( \left| y - \sum^n_{k=-m} a_kp^k \right|_p \right) \le p^{-n-1} \]
であるから$(2)$が成り立つ。一意性も【補題2】から従う。□
この定理によって、任意の $x \in \mathbb{Q}_p$ は$(2)$の形の有限和で$p$進距離の意味でいくらでも高精度に近似でき、従って$n$を無限に大きくしたときに定まる次の形の無限級数
\[ \sum^\infty_{k=-m} a_kp^k \]
は$p$進距離の意味で$x$に収束します。この無限級数は$x$の$p$進展開とよばれ、任意の$p$進数は一意的に$p$進展開できるということになります。
（続く）（前記事）（目次）
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