わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析（その6） [数学]
【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】
(6) 超冪による超準モデルの構成
本シリーズの第1回目で、「無限集合を領域にもつどんなモデルにもそれを真に拡大する超準モデルが存在する」と書きました。遅ればせながらここでその超準モデルの作り方を紹介しておきます。
とはいえ、ここで書く超冪による構成法は、超準解析を解説するテキストならばどこでも書かれている内容なので、証明などは省略して大いに端折り、流れだけを書くこととします。
無限集合$X$を領域とするある数学モデルがあり（以下標準モデル$X$とよぶ）、それを拡大した超準モデル${}^*X$を作りたいとします。この目的のため、（$X$と無関係に）ある無限集合$I$と、$I$上の超フィルター $\mathcal{F}$ を用意します。ここで $\mathcal{F}$ が$I$上の超フィルターであるとは、$I$の部分集合を要素にもつ空でない集合で次の4条件をみたすことをいいます。
① $A \in \mathcal{F} \land A \subseteq B \subseteq I \to B \in \mathcal{F}$
② $A \in \mathcal{F} \land B \in \mathcal{F} \to A \cap B \in \mathcal{F}$
③ $\emptyset \notin \mathcal{F}$
④ $A \subseteq I \to A \in \mathcal{F} \lor I \setminus A \in \mathcal{F}$
①〜③だけをみたすものは単にフィルターといいます。ツォルンの補題を用いると、任意のフィルターにはそれを拡大する超フィルターが存在することが示されます。
次に、$I$から$X$への関数の全体 ${}^IX$ を考え、この上に次で定める同値関係 $\sim_{\mathcal{F}}$ を考えます。$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in {}^IX$として、
\[ \boldsymbol{x} \sim_{\mathcal{F}} \boldsymbol{y} \quad \Leftrightarrow \quad \{ \, i \in I \mid \boldsymbol{x}(i) = \boldsymbol{y}(i) \, \} \in \mathcal{F} \]
つまり、超フィルター $\mathcal{F}$ に関して$I$上ほとんど至る所等しいという関係を $\sim_{\mathcal{F}}$ と定めます。これが同値関係になることはフィルターの性質から容易にわかります。そこで ${}^IX$ を $\sim_{\mathcal{F}}$ で割った商集合 ${}^IX / \sim_{\mathcal{F}}$ を（$I, \mathcal{F}$から得られる）$X$の超冪といいます。
この超冪が$X$の超準モデルになることを説明します。そのためちょっと前のめりですが ${}^IX / \sim_{\mathcal{F}}$ のことを${}^*X$と書くこととします。
$X$上の$k$項関係 $R \, (\subseteq X^k)$ を考えます。$R$は次によって${}^*X$上の$k$項関係${}^*R$に写すことができます。$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots \boldsymbol{x}_k \in {}^IX$ とするとき$\boldsymbol{x}$が属する同値類を $[ \boldsymbol{x} ]$ として、
\[ {}^*R([\boldsymbol{x}_1], [\boldsymbol{x}_2], \cdots , [\boldsymbol{x}_k] ) \quad \Leftrightarrow \quad \{ \, i \in I \mid R(\boldsymbol{x}_1(i), \boldsymbol{x}_2(i), \cdots , \boldsymbol{x}_k(i) ) \, \} \in \mathcal{F} \]
によって$k$項関係${}^*R$を定めます。つまり、超フィルター $\mathcal{F}$ に関して$I$上ほとんど至る所$R$が成り立つとき${}^*R$が成り立つとします。
このようにして$X$上のあらゆる関係は${}^*X$上の関係に同様に写すことができます。このとき移行原理とよばれる次の定理が成り立ちます。
この証明はウォシュ（Łoś）の定理を用いてなされますが、長くなるのとあちこちに書かれていますので省略します。これによって、$X$上で成り立つ一階の性質がすべて${}^*X$に受け継がれることになります。
さらに、$X$は次の対応によって${}^*X$に埋め込むことができます。
\[ x \longmapsto [ \{ \, \langle i,x \rangle \mid i \in I \, \} ] \]
つまり $x \in X$ に対して値が常に $\boldsymbol{c}_x(i) = x$ となる定数関数 $\boldsymbol{c}_x \in {}^IX$ を考え、$x$と $[ \boldsymbol{c}_x ]$ を同一視して $X \subseteq {}^*X$ とみなします。このとき${}^*X$が$X$の真の拡大となるならば、この${}^*X$を標準モデル$X$に対する超準モデルということができますが、そうなるためには$I$と超フィルター $\mathcal{F}$ にちょっとした条件が必要です。
（証明）$X$を整列して $X = \{ \, x_\alpha \mid \alpha < \kappa \, \}$ としておく。$X \neq {}^*X$ と仮定すると、$[\boldsymbol{a}] \in {}^*X \setminus X$ となる $\boldsymbol{a} \in {}^IX$ が存在するから、
\[ I_\alpha = \{ \, i \in I \mid \boldsymbol{a}(i) = x_\alpha \, \} \]
とおくと $I = \bigsqcup_{\alpha < \kappa}I_\alpha$ であって、かつ任意の $\alpha < \kappa$ について $[\boldsymbol{a}] \neq x_\alpha$ より $I_\alpha \notin \mathcal{F}$ となる。
逆に、このような$I$の直和分割 $I = \bigsqcup_{\alpha < \kappa}I_\alpha$ が存在するならば、
\[ \forall i \in I (i \in I_\alpha \to \boldsymbol{a}(i) = x_\alpha) \]
となるように $\boldsymbol{a} \in {}^IX$ をとると、$[\boldsymbol{a}] \in {}^*X \setminus X$ が成り立つ。□
これから、つぎの簡単な十分条件が得られます。
ここで非単項フィルターとは、どの $i \in I$ に対しても $\{ i \}$ を要素にもたないフィルターのことをいいます。無限集合$I$上に非単項な超フィルターが存在することは、$I$の有限部分集合の補集合の全体で作られるフィルター（フレシェ・フィルター）を考えると、それを拡大する超フィルターが存在することからわかります。
（証明）$\lvert X \rvert = \kappa , \, \lvert I \rvert = \lambda$ とおく。$\mathcal{F}$ が非単項で $\lambda \le \kappa$ ならば、$I$を整列して $I = \{ \, i_\alpha \mid \alpha < \lambda \, \}$ とすると、
\[ I_\alpha = \{ \, i_\alpha \, \} \quad ( \alpha < \lambda) \\
I_\alpha = \emptyset \quad ( \lambda \le \alpha < \kappa) \]
によって定まる$I$の直和分割は、$\mathcal{F}$ が非単項だから【定理2】の条件をみたす。□
この十分条件によって、$X$が無限集合ならば $I = \omega \, ( = \mathbb{N})$ とすれば超準モデル${}^*X$が構成できることがわかります。
以上で「無限集合を領域にもつどんなモデルにもそれを真に拡大する超準モデルが存在する」ことを、超冪による構成法によって示すことができました。このことを示すためだけなら初めから $I = \omega$ としてしまう方が理解しやすいのですが、ここでは後々のために$I$を一般化しておきました。
（続く）（前記事）（目次）
(6) 超冪による超準モデルの構成
本シリーズの第1回目で、「無限集合を領域にもつどんなモデルにもそれを真に拡大する超準モデルが存在する」と書きました。遅ればせながらここでその超準モデルの作り方を紹介しておきます。
とはいえ、ここで書く超冪による構成法は、超準解析を解説するテキストならばどこでも書かれている内容なので、証明などは省略して大いに端折り、流れだけを書くこととします。
無限集合$X$を領域とするある数学モデルがあり（以下標準モデル$X$とよぶ）、それを拡大した超準モデル${}^*X$を作りたいとします。この目的のため、（$X$と無関係に）ある無限集合$I$と、$I$上の超フィルター $\mathcal{F}$ を用意します。ここで $\mathcal{F}$ が$I$上の超フィルターであるとは、$I$の部分集合を要素にもつ空でない集合で次の4条件をみたすことをいいます。
① $A \in \mathcal{F} \land A \subseteq B \subseteq I \to B \in \mathcal{F}$
② $A \in \mathcal{F} \land B \in \mathcal{F} \to A \cap B \in \mathcal{F}$
③ $\emptyset \notin \mathcal{F}$
④ $A \subseteq I \to A \in \mathcal{F} \lor I \setminus A \in \mathcal{F}$
①〜③だけをみたすものは単にフィルターといいます。ツォルンの補題を用いると、任意のフィルターにはそれを拡大する超フィルターが存在することが示されます。
次に、$I$から$X$への関数の全体 ${}^IX$ を考え、この上に次で定める同値関係 $\sim_{\mathcal{F}}$ を考えます。$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in {}^IX$として、
\[ \boldsymbol{x} \sim_{\mathcal{F}} \boldsymbol{y} \quad \Leftrightarrow \quad \{ \, i \in I \mid \boldsymbol{x}(i) = \boldsymbol{y}(i) \, \} \in \mathcal{F} \]
つまり、超フィルター $\mathcal{F}$ に関して$I$上ほとんど至る所等しいという関係を $\sim_{\mathcal{F}}$ と定めます。これが同値関係になることはフィルターの性質から容易にわかります。そこで ${}^IX$ を $\sim_{\mathcal{F}}$ で割った商集合 ${}^IX / \sim_{\mathcal{F}}$ を（$I, \mathcal{F}$から得られる）$X$の超冪といいます。
この超冪が$X$の超準モデルになることを説明します。そのためちょっと前のめりですが ${}^IX / \sim_{\mathcal{F}}$ のことを${}^*X$と書くこととします。
$X$上の$k$項関係 $R \, (\subseteq X^k)$ を考えます。$R$は次によって${}^*X$上の$k$項関係${}^*R$に写すことができます。$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots \boldsymbol{x}_k \in {}^IX$ とするとき$\boldsymbol{x}$が属する同値類を $[ \boldsymbol{x} ]$ として、
\[ {}^*R([\boldsymbol{x}_1], [\boldsymbol{x}_2], \cdots , [\boldsymbol{x}_k] ) \quad \Leftrightarrow \quad \{ \, i \in I \mid R(\boldsymbol{x}_1(i), \boldsymbol{x}_2(i), \cdots , \boldsymbol{x}_k(i) ) \, \} \in \mathcal{F} \]
によって$k$項関係${}^*R$を定めます。つまり、超フィルター $\mathcal{F}$ に関して$I$上ほとんど至る所$R$が成り立つとき${}^*R$が成り立つとします。
このようにして$X$上のあらゆる関係は${}^*X$上の関係に同様に写すことができます。このとき移行原理とよばれる次の定理が成り立ちます。
【定理1】$X$上の$n$個の関係 $R_1, R_2, \cdots R_n$ を含む一階の閉論理式が$X$上で真ならば、それらの関係を ${}^*R_1, {}^*R_2, \cdots {}^*R_n$ で置き換えた一階の閉論理式は${}^*X$上で真であり、またその逆も成り立つ。
この証明はウォシュ（Łoś）の定理を用いてなされますが、長くなるのとあちこちに書かれていますので省略します。これによって、$X$上で成り立つ一階の性質がすべて${}^*X$に受け継がれることになります。
さらに、$X$は次の対応によって${}^*X$に埋め込むことができます。
\[ x \longmapsto [ \{ \, \langle i,x \rangle \mid i \in I \, \} ] \]
つまり $x \in X$ に対して値が常に $\boldsymbol{c}_x(i) = x$ となる定数関数 $\boldsymbol{c}_x \in {}^IX$ を考え、$x$と $[ \boldsymbol{c}_x ]$ を同一視して $X \subseteq {}^*X$ とみなします。このとき${}^*X$が$X$の真の拡大となるならば、この${}^*X$を標準モデル$X$に対する超準モデルということができますが、そうなるためには$I$と超フィルター $\mathcal{F}$ にちょっとした条件が必要です。
【定理2】上の同一視において${}^*X$が$X$の真の拡大となるための必要十分条件は、$X$の濃度を$\kappa$としたとき$I$の$\kappa$個の直和分割 $I = \bigsqcup_{\alpha < \kappa}I_\alpha$ で、
\[ \forall \alpha < \kappa \, (I_\alpha \notin \mathcal{F}) \]
をみたすものが存在することである（このとき $I_\alpha = \emptyset$ となるものがあってもよい）。
（証明）$X$を整列して $X = \{ \, x_\alpha \mid \alpha < \kappa \, \}$ としておく。$X \neq {}^*X$ と仮定すると、$[\boldsymbol{a}] \in {}^*X \setminus X$ となる $\boldsymbol{a} \in {}^IX$ が存在するから、
\[ I_\alpha = \{ \, i \in I \mid \boldsymbol{a}(i) = x_\alpha \, \} \]
とおくと $I = \bigsqcup_{\alpha < \kappa}I_\alpha$ であって、かつ任意の $\alpha < \kappa$ について $[\boldsymbol{a}] \neq x_\alpha$ より $I_\alpha \notin \mathcal{F}$ となる。
逆に、このような$I$の直和分割 $I = \bigsqcup_{\alpha < \kappa}I_\alpha$ が存在するならば、
\[ \forall i \in I (i \in I_\alpha \to \boldsymbol{a}(i) = x_\alpha) \]
となるように $\boldsymbol{a} \in {}^IX$ をとると、$[\boldsymbol{a}] \in {}^*X \setminus X$ が成り立つ。□
これから、つぎの簡単な十分条件が得られます。
【定理3】$\mathcal{F}$ が非単項フィルター、かつ$X,I$の濃度について $\lvert I \rvert \le \lvert X \rvert$ ならば、${}^*X$は$X$の真の拡大である。
ここで非単項フィルターとは、どの $i \in I$ に対しても $\{ i \}$ を要素にもたないフィルターのことをいいます。無限集合$I$上に非単項な超フィルターが存在することは、$I$の有限部分集合の補集合の全体で作られるフィルター（フレシェ・フィルター）を考えると、それを拡大する超フィルターが存在することからわかります。
（証明）$\lvert X \rvert = \kappa , \, \lvert I \rvert = \lambda$ とおく。$\mathcal{F}$ が非単項で $\lambda \le \kappa$ ならば、$I$を整列して $I = \{ \, i_\alpha \mid \alpha < \lambda \, \}$ とすると、
\[ I_\alpha = \{ \, i_\alpha \, \} \quad ( \alpha < \lambda) \\
I_\alpha = \emptyset \quad ( \lambda \le \alpha < \kappa) \]
によって定まる$I$の直和分割は、$\mathcal{F}$ が非単項だから【定理2】の条件をみたす。□
この十分条件によって、$X$が無限集合ならば $I = \omega \, ( = \mathbb{N})$ とすれば超準モデル${}^*X$が構成できることがわかります。
以上で「無限集合を領域にもつどんなモデルにもそれを真に拡大する超準モデルが存在する」ことを、超冪による構成法によって示すことができました。このことを示すためだけなら初めから $I = \omega$ としてしまう方が理解しやすいのですが、ここでは後々のために$I$を一般化しておきました。
（続く）（前記事）（目次）
わかってない奴がわかったつもりで書き留める超準解析（その5） [数学]
【超準解析について生半可な知識しかない僕が、わかったつもりの内容をちょっとずつ書き留めていきます。不正確な内容や誤りもあることをご承知ください。】
(5) 超自然数と数列
実数体の超準モデルとして超実数体を考えたのと同様に、自然数の体系$\mathbb{N}$の超準モデルとして超自然数の体系${}^*\mathbb{N}$を考えることができます。
ここで元になる自然数の体系$\mathbb{N}$とは正確には何なのかということを突き詰めると泥沼に入りますので、ここではあまり深く考えないことにして、$\mathbb{N}$とは私たちが普通に使う自然数、つまり加法演算$+$, 乗法演算 $\cdot$ および順序関係$\le$が定められていて、数学的帰納法を含むよく知られた法則が成り立つものとします。また$\mathbb{N}$は$\mathbb{R}$の部分体系とします。従って超自然数の体系${}^*\mathbb{N}$は超実数体${}^*\mathbb{R}$の部分体系になります。
${}^*\mathbb{N}$が$\mathbb{N}$を真に拡大するので自然数ではない超自然数$N$が存在しますが、この$N$がどこに位置するのか考えてみましょう。まず、
\[ \forall n \in \mathbb{N} \, (0 \le n) \]
ですので、移行原理より
\[ \forall n \in {}^*\mathbb{N} \, (0 \le n) \]
となりますから $0 < N$ です。次に、
\[ \forall n,k \in \mathbb{N} \, \lnot (n < k < n+1) \]
ですので、移行原理より
\[ \forall n,k \in {}^*\mathbb{N} \, \lnot (n < k < n+1) \]
となりますが、ここでもし $N < n$ となる自然数$n$があると仮定すると、$\mathbb{N}$は順序に関して整列集合なので $N < n$ となる自然数$n$の最小値$n_0$が存在し、$n_0 \ne 0$ なので $n_0-1 < N < n_0$ となるから矛盾、従って
\[ \forall n \in \mathbb{N} \, (n < N) \]
となって、自然数でない超自然数はどんな自然数よりも大きいということになります。これを無限大超自然数と呼び、無限大超自然数の全体を ${}^*\mathbb{N}_\infty$ と書くことにします。従って
\[ {}^*\mathbb{N}_\infty = {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N} \]
が成り立ちます。
$\mathbb{N}$は整列集合ですが、${}^*\mathbb{N}$はそうではありません。${}^*\mathbb{N}_\infty$ がひとつの反例になります。整列集合という性質は一階の論理式では書けないのです。
一方で、実数と自然数との間で成り立つ次の関係
\[ \forall x \in \mathbb{R} \, (x \ge 0 \to \exists n \in \mathbb{N} \, (n > 0 \land n-1 \le x < n)) \]
は一階の論理式で表されていますので、移行原理によって
\[ \forall x \in {}^*\mathbb{R} \, (x \ge 0 \to \exists n \in {}^*\mathbb{N} \, (n > 0 \land n-1 \le x < n)) \]
が超実数と超自然数との間で成り立ちます。従って任意の正の超実数$x$に対してそれを超える最小の超自然数$n$が存在し、$x$が無限大超実数ならば$n$は無限大超自然数です。
さて、話を数列に移しましょう。実数列とは$\mathbb{N}$から$\mathbb{R}$への関数のことでした。実数列$a$について値 $a(n)$ のことを $a_n$ と書き、数列 $\{ a_n \}$ という書き方をするのは一般的です。
ここで$a$の超準拡大 ${}^*a$ は移行原理より${}^*\mathbb{N}$から${}^*\mathbb{R}$への関数になりますが、$n$が無限大超自然数のときの値 ${}^*a(n)$ のことをアスタリスクを省略して $a_n$ と書くことにします。つまり数列 $\{ a_n \}$ は $n \in {}^*\mathbb{N}_\infty$ のときにも超実数値 $a_n$ をもつと考えます。こう考えてもあまり混乱しないと思います。
関数の極限と同様に、超準解析における数列の極限は次のように定義することができます。
この定義が $\epsilon - \delta$ 論法による定義と同値であることは、関数の極限のときと同様に証明できます。
数列の極限に関するいくつかの概念は、超準解析を使った簡単な同値条件で表すことができます。
（証明）数列 $\{ a_n \}$ が実数$b$に収束する部分列をもつとする。このとき、
\[ \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall L \in \mathbb{N} \, \exists n \in \mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立つ。移行原理より、
\[ \forall \epsilon \in {}^*\mathbb{R}^+ \, \forall L \in {}^*\mathbb{N} \, \exists n \in {}^*\mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立つから、$\epsilon$を無限小、$L$を無限大にとると、
\[ \exists n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_n \approx b) \]
が成り立つ。
逆にこの条件が成り立つとする。このとき任意に自然数$L$と正実数$\epsilon$をとると、
\[ \exists n \in {}^*\mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立ち、移行原理より、
\[ \exists n \in \mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立つ。そこで番号の列 $\{ m_k \}$ を次のように帰納的に定める。まず $m_0=0$ とする。 $m_k$ が定まったら、
\[ n > m_k \land \left| a_n-b \right| < 1/(k+1) \]
をみたす自然数$n$をとって $m_{k+1}=n$ とする。このとき部分列 $\{ a_{m_k} \}$ は明らかに$b$に収束する。□
（証明）数列 $\{ a_n \}$ がコーシー列であるとする。任意に正実数$\epsilon$をとると、それに対して
\[ \forall m,n \in \mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
をみたす自然数$L$がとれる。すると移行原理より、
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
が成り立ち、これより
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (\left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
となるが、$\epsilon$は任意の正実数にとれるから、
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_m \approx a_n) \]
が成り立つ。
逆にこの条件が成り立つとする。このとき任意の正実数$\epsilon$に対し、
\[ \exists L \in {}^*\mathbb{N} \, \forall m,n \in {}^*\mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
が成り立つ（$L$を無限大にとればよい）。移行原理より、
\[ \exists L \in \mathbb{N} \, \forall m,n \in \mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
となり、$\epsilon$は任意の正実数だから $\{ a_n \}$ はコーシー列である。□
これらを使うと「有界な実数列は収束する部分列をもつ」「コーシー列は部分列が収束すれば収束する」「実数列はコーシー列ならば収束する」ことなどが極めて簡単に証明できることがわかります（超準解析で証明する必要もないですが）。
次に、数列 $\{ a_n \}$ に対して、$n$を$p$から$q$まで動かしたときの各$a_n$の総和 $\displaystyle \sum_{n=p}^q a_n$ を考えると、これは $p,q$ を変数とする$\mathbb{N}^2$から$\mathbb{R}$への関数とみなせるので、
\[ \sum_{n=p}^q a_n = s(p,q) \]
とおきます。関数$s$の超準拡大${}^*s$は${}^*\mathbb{N}^2$から${}^*\mathbb{R}$への関数です。そこで記号を濫用して $p,q$ が超自然数のときにも$p$から$q$までの「総和」を
\[ \sum_{n=p}^q a_n = {}^*s(p,q) \]
によって定義することとします。これはもはや有限和ではありませんが、移行原理によって有限和とほとんど同様に扱うことができ、「*有限和」と呼ばれます。
これらの内容を使うことによって、例えば有名なチェザロ平均の収束定理が、以前の記事で紹介したように気持ちよく証明できたりします。
（続く）（前記事）（目次）
(5) 超自然数と数列
実数体の超準モデルとして超実数体を考えたのと同様に、自然数の体系$\mathbb{N}$の超準モデルとして超自然数の体系${}^*\mathbb{N}$を考えることができます。
ここで元になる自然数の体系$\mathbb{N}$とは正確には何なのかということを突き詰めると泥沼に入りますので、ここではあまり深く考えないことにして、$\mathbb{N}$とは私たちが普通に使う自然数、つまり加法演算$+$, 乗法演算 $\cdot$ および順序関係$\le$が定められていて、数学的帰納法を含むよく知られた法則が成り立つものとします。また$\mathbb{N}$は$\mathbb{R}$の部分体系とします。従って超自然数の体系${}^*\mathbb{N}$は超実数体${}^*\mathbb{R}$の部分体系になります。
${}^*\mathbb{N}$が$\mathbb{N}$を真に拡大するので自然数ではない超自然数$N$が存在しますが、この$N$がどこに位置するのか考えてみましょう。まず、
\[ \forall n \in \mathbb{N} \, (0 \le n) \]
ですので、移行原理より
\[ \forall n \in {}^*\mathbb{N} \, (0 \le n) \]
となりますから $0 < N$ です。次に、
\[ \forall n,k \in \mathbb{N} \, \lnot (n < k < n+1) \]
ですので、移行原理より
\[ \forall n,k \in {}^*\mathbb{N} \, \lnot (n < k < n+1) \]
となりますが、ここでもし $N < n$ となる自然数$n$があると仮定すると、$\mathbb{N}$は順序に関して整列集合なので $N < n$ となる自然数$n$の最小値$n_0$が存在し、$n_0 \ne 0$ なので $n_0-1 < N < n_0$ となるから矛盾、従って
\[ \forall n \in \mathbb{N} \, (n < N) \]
となって、自然数でない超自然数はどんな自然数よりも大きいということになります。これを無限大超自然数と呼び、無限大超自然数の全体を ${}^*\mathbb{N}_\infty$ と書くことにします。従って
\[ {}^*\mathbb{N}_\infty = {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N} \]
が成り立ちます。
$\mathbb{N}$は整列集合ですが、${}^*\mathbb{N}$はそうではありません。${}^*\mathbb{N}_\infty$ がひとつの反例になります。整列集合という性質は一階の論理式では書けないのです。
一方で、実数と自然数との間で成り立つ次の関係
\[ \forall x \in \mathbb{R} \, (x \ge 0 \to \exists n \in \mathbb{N} \, (n > 0 \land n-1 \le x < n)) \]
は一階の論理式で表されていますので、移行原理によって
\[ \forall x \in {}^*\mathbb{R} \, (x \ge 0 \to \exists n \in {}^*\mathbb{N} \, (n > 0 \land n-1 \le x < n)) \]
が超実数と超自然数との間で成り立ちます。従って任意の正の超実数$x$に対してそれを超える最小の超自然数$n$が存在し、$x$が無限大超実数ならば$n$は無限大超自然数です。
さて、話を数列に移しましょう。実数列とは$\mathbb{N}$から$\mathbb{R}$への関数のことでした。実数列$a$について値 $a(n)$ のことを $a_n$ と書き、数列 $\{ a_n \}$ という書き方をするのは一般的です。
ここで$a$の超準拡大 ${}^*a$ は移行原理より${}^*\mathbb{N}$から${}^*\mathbb{R}$への関数になりますが、$n$が無限大超自然数のときの値 ${}^*a(n)$ のことをアスタリスクを省略して $a_n$ と書くことにします。つまり数列 $\{ a_n \}$ は $n \in {}^*\mathbb{N}_\infty$ のときにも超実数値 $a_n$ をもつと考えます。こう考えてもあまり混乱しないと思います。
関数の極限と同様に、超準解析における数列の極限は次のように定義することができます。
【数列の極限の定義】
数列 $\{ a_n \}$ について、任意の無限大超自然数$n$に対して $a_n$ が実数$b$に無限に近いことを、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = b$ と書き、$\{ a_n \}$ は$b$に収束するという。式でかくと次のとおり。
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = b \quad \Leftrightarrow \quad \forall n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_n \approx b) \]
この定義が $\epsilon - \delta$ 論法による定義と同値であることは、関数の極限のときと同様に証明できます。
数列の極限に関するいくつかの概念は、超準解析を使った簡単な同値条件で表すことができます。
【定理1】数列 $\{ a_n \}$ が実数$b$に収束する部分列をもつことは、次が成り立つことと同値である。
\[ \exists n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_n \approx b) \]
（証明）数列 $\{ a_n \}$ が実数$b$に収束する部分列をもつとする。このとき、
\[ \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall L \in \mathbb{N} \, \exists n \in \mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立つ。移行原理より、
\[ \forall \epsilon \in {}^*\mathbb{R}^+ \, \forall L \in {}^*\mathbb{N} \, \exists n \in {}^*\mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立つから、$\epsilon$を無限小、$L$を無限大にとると、
\[ \exists n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_n \approx b) \]
が成り立つ。
逆にこの条件が成り立つとする。このとき任意に自然数$L$と正実数$\epsilon$をとると、
\[ \exists n \in {}^*\mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立ち、移行原理より、
\[ \exists n \in \mathbb{N} \, (n > L \land \left| a_n-b \right| < \epsilon) \]
が成り立つ。そこで番号の列 $\{ m_k \}$ を次のように帰納的に定める。まず $m_0=0$ とする。 $m_k$ が定まったら、
\[ n > m_k \land \left| a_n-b \right| < 1/(k+1) \]
をみたす自然数$n$をとって $m_{k+1}=n$ とする。このとき部分列 $\{ a_{m_k} \}$ は明らかに$b$に収束する。□
【定理2】数列 $\{ a_n \}$ がコーシー列であることは、次が成り立つことと同値である。
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_m \approx a_n) \]
（証明）数列 $\{ a_n \}$ がコーシー列であるとする。任意に正実数$\epsilon$をとると、それに対して
\[ \forall m,n \in \mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
をみたす自然数$L$がとれる。すると移行原理より、
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
が成り立ち、これより
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (\left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
となるが、$\epsilon$は任意の正実数にとれるから、
\[ \forall m,n \in {}^*\mathbb{N}_\infty \, (a_m \approx a_n) \]
が成り立つ。
逆にこの条件が成り立つとする。このとき任意の正実数$\epsilon$に対し、
\[ \exists L \in {}^*\mathbb{N} \, \forall m,n \in {}^*\mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
が成り立つ（$L$を無限大にとればよい）。移行原理より、
\[ \exists L \in \mathbb{N} \, \forall m,n \in \mathbb{N} \, (m \ge L \land n \ge L \to \left| a_m-a_n \right| < \epsilon) \]
となり、$\epsilon$は任意の正実数だから $\{ a_n \}$ はコーシー列である。□
これらを使うと「有界な実数列は収束する部分列をもつ」「コーシー列は部分列が収束すれば収束する」「実数列はコーシー列ならば収束する」ことなどが極めて簡単に証明できることがわかります（超準解析で証明する必要もないですが）。
次に、数列 $\{ a_n \}$ に対して、$n$を$p$から$q$まで動かしたときの各$a_n$の総和 $\displaystyle \sum_{n=p}^q a_n$ を考えると、これは $p,q$ を変数とする$\mathbb{N}^2$から$\mathbb{R}$への関数とみなせるので、
\[ \sum_{n=p}^q a_n = s(p,q) \]
とおきます。関数$s$の超準拡大${}^*s$は${}^*\mathbb{N}^2$から${}^*\mathbb{R}$への関数です。そこで記号を濫用して $p,q$ が超自然数のときにも$p$から$q$までの「総和」を
\[ \sum_{n=p}^q a_n = {}^*s(p,q) \]
によって定義することとします。これはもはや有限和ではありませんが、移行原理によって有限和とほとんど同様に扱うことができ、「*有限和」と呼ばれます。
これらの内容を使うことによって、例えば有名なチェザロ平均の収束定理が、以前の記事で紹介したように気持ちよく証明できたりします。
（続く）（前記事）（目次）
