惜別！名阪上野ドライブイン名残の訪問

　奈良県と三重県を結ぶ高速道路的な一般国道「名阪国道」。この沿線にある大型ドライブイン「名阪上野ドライブイン」が、この3月31日をもって閉店されることになりました。

　場所は、大内インターを降りてすぐ北側のところです。
　新名神ができてからは名阪国道もあまり使わなくなりましたが、以前大阪から三重県に名阪国道で向かう場合には、山間部を抜けて伊賀盆地に入ってホッとする位置にあるので、休憩によく使ったものでした。

　というわけで、名残を惜しみにもう一度訪問してきました。

　まずは全景。かなり大きな建物です。







　朝の10時ごろだったので開店前でしたが、本格的なレストランがあります。



　営業してきた55年間の写真が展示されていました。





　麺食コーナーでちょっと腹ごしらえにニシンうどんを食べました。





　「忍者ドライブイン」と銘打っていますので、トイレも忍者スタイルです。



　ちょっと変わったメニューがある喫茶コーナーもあります。



　もちろんドライブイン定番の、カップ自販機も。



　お土産物コーナーは、地元伊賀の他に関西と伊勢の土産物が揃っています。もちろん赤福餅も。



　記念に忍者柄のハンカチを買いました。



　建物の端の方には、一杯飲み屋のような店もあり、朝から賑わっていました。



　時代の流れとはいえ残念です。長い間お世話になりました。



　まだ月末まで「閉店感謝セール」として営業していますので、名残惜しい方はぜひ訪問してください。

ウクライナ出身ボーカルの移民系バンド Gogol Bordello

　ウクライナが大変なことになっていますが、ここで、移民系バンド Gogol Bordello の紹介です。
　ボーカルで中心メンバーの Eugene Hütz がウクライナ出身で、多国籍なメンバーで構成されるバンドです。
　僕の好きな2曲を紹介します。

　"No Human Being is Illegal" のメッセージが心を打つMVの Immigraniada

Gogol Bordello - Immigraniada (We Comin' Rougher)



　「ヘイヘイヘイヘイ　ハリハリホー　ハリハリヘイ」のリフレインが耳に残る Trans-Continental Hustle

GOGOL BORDELLO - Trans-Continental Hustle (official video)



　どちらも力強いリズムとメッセージの印象的な曲です。

　ウクライナのこの危機が何とか良い方向におさまりますように。

松原市北部で新設ショッピングモール路線とコミュニティー路線巡り

　松原市の近鉄南大阪線から北側は、かつてはJR平野や地下鉄出戸と河内松原や河内天美を結ぶ近鉄バス路線が多数運行されていた時代もありましたが、2017年に河内天美〜大堀の路線が休止されてからはすっかりバス空白地帯になっていました。
　去年の11月に大型ショッピングモール「セブンパーク天美」が開業したと同時に、河内天美とモールを結ぶシャトルバスが近鉄バスによって運行開始されたので、以前から走っている北港観光バスのコミュニティー路線とあわせて乗ってきました。



　河内天美駅前に4年ぶりに戻ってきた近鉄バス。セブンパーク専用にラッピングされています。





　シャトルバスなので途中停留所はなくノンストップです。住宅地を走り出してすぐにセブンパーク天美が見えますが、往路は道路の関係でちょっと大回りをして10分かけて到着です。







　大きくて楽しいモールです。吹き抜けの大きな液晶パネルが印象的でした。





　モール内で昼食を摂って、北向きにちょっと歩きます。田んぼや倉庫と住宅が混在する地域です。





　大和川の土手にたどり着きました。



　土手のすぐ南側に、北港観光バスの「あびこ天美北線」の終点「天美北2丁目」のバス停があります。1985年から2016年まで日本城タクシーが運行し、その後北港観光バスに移管された路線で、天美北地区と地下鉄あびこ駅を結んでいます。

　あびこ天美北線｜北港観光バスWebサイト





　コミュニティーバスっぽい車体で、日本城タクシー時代は「コミュニティーバス」と自称していましたが、自治体の補助はない純粋民間路線だそうです。運賃先払いで現金のみです。





　途中の「あまみ神社前」で下車しました。



　ここで下車したのは、大和川の南側に蜂の尻と針のように細長く突き出している大阪市東住吉区の領域を見て歩きたかったからです。
　このあたりの事情と現場ルポは、リンクで紹介する DailyPortalZ の記事が詳しいので、そちらを参照ください。

　細長すぎる大阪市領土と古墳カーブの謎 :: デイリーポータルZ

　まずは阿麻美許曾神社（あまみこそじんじゃ）に参拝します。この一帯は大阪市東住吉区の「蜂の尻」部分です。





　ここから道路沿いに南に向かって歩きます。写真の道路左半分と道路沿いの家1軒分が南に細長く伸びる大阪市域の「蜂の針」部分です。もともと阿麻美許曾神社の参道だったそうですが、今はその面影はありません。



　住居表示も「東住吉区矢田七丁目」なので、紛れもなく大阪市です。



　「蜂の針」の先まで来ました。水道メーターボックスの蓋に大阪市の市章が描かれています。



　「蜂の針」の先端を西から東向きで見たところ。写真左から3階建のビルまでが大阪市です。



　ここからまた北港観光バスに乗り、大和川を渡って地下鉄あびこ駅前に向かいます。







　あびこ駅前の地上の道路脇の停留所に到着しました。





　大阪市に隣接するのにどこかノンビリした風景が広がる松原市北部。公共交通機関が不便なのでバス路線がもう少し充実してほしいところですが、やはり採算的に厳しい地域のようです。

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阪神大震災時の逐次鉄道復旧状況の記録（路線図つき）その2

　前記事に続き、1995年の阪神・淡路大震災からの鉄道復旧状況をキャラ路線図とともに振り返ります。

◎2月21日
運転再開
・山陽電鉄　東須磨〜須磨寺



◎3月1日
運転再開
・阪神本線　西灘〜岩屋
・阪急甲陽線　夙川〜甲陽園

　阪急甲陽線は、完全孤立状態での再開です。
　この日から路線図の記載範囲を縮小し、そのかわりに代行バスや連絡バスのある箇所を記載するようにしました。



◎3月10日
・JR神戸線　新長田駅営業再開

　地下鉄の新長田駅はまだ休止中なので、乗り換えはできません。



◎3月11日
運転再開
・阪急伊丹線　新伊丹〜伊丹（仮駅）

　阪急伊丹線が伊丹駅400m南側の仮駅で運転再開しました（図には記載していません）。

◎3月13日
運転再開
・阪急神戸線　王子公園〜三宮

　東方面から三宮への鉄道アプローチの乗り継ぎが1箇所ですむようになりました。



◎3月16日
・神戸市交通局　三宮、新長田駅営業再開

　両駅で地下鉄と他路線との乗り継ぎができるようになりました。



◎3月24日
運転再開
・山陽電鉄　板宿〜東須磨



◎3月31日
運転再開
・神戸電鉄　有馬口〜有馬温泉
・神戸市交通局　上沢駅営業再開

◎4月1日
運転再開
・JR神戸線　住吉〜灘

　JR神戸線が全線再開し、神戸の東西が鉄道で繋がりました。
　阪急と阪神の全線再開はさらに2ヶ月を要することになります。



◎4月7日
運転再開
・阪急神戸線　夙川〜岡本



◎4月8日
運転再開
・山陽新幹線　新大阪〜姫路

　山陽新幹線が全線運転再開しました（路線図には新幹線は記載していません）。

◎4月9日
運転再開
・山陽電鉄　須磨寺〜須磨

　山陽電鉄の部分開通区間が須磨でJRと乗り継ぎできるようになりました。



◎4月18日
運転再開
・山陽電鉄　須磨〜須磨浦公園



◎5月12日
運転再開
・六甲ライナー　アイランド北口〜マリンパーク



◎5月22日
運転再開
・ポートライナー　中公園〜北埠頭



◎6月1日
運転再開
・阪急神戸線　夙川〜岡本
・神戸高速鉄道　三宮〜花隈

　こま切れ状態だった阪急神戸線が、西宮北口〜夙川間を残してつながりました。



◎6月12日
運転再開
・阪急神戸線　西宮北口〜夙川

　阪急神戸線が全線で運転再開し、阪急梅田〜新開地間が1本でつながりました。



◎6月16日
運転再開
・山陽電鉄　須磨浦公園〜滝の茶屋

　同じくこま切れ状態だった山陽電鉄も、板宿から西側がつながりました。



◎6月18日
運転再開
・山陽電鉄、神戸高速鉄道　板宿〜長田

　山陽電鉄が全線運転再開しました。



◎6月22日
運転再開
・神戸電鉄・神戸高速鉄道　新開地〜長田

　神戸電鉄が全線運転再開しました。



◎6月26日
運転再開
・阪神本線　御影〜西灘

　阪神電鉄が全線運転再開し、阪神間の全ての鉄道路線が復旧しました。



◎7月20日
運転再開
・六甲ライナー　魚崎〜アイランド北口

◎7月31日
運転再開
・ポートライナー　三宮〜中公園



◎8月13日
運転再開
・神戸高速鉄道　新開地〜高速長田

　神戸高速鉄道が全線運転再開し、神戸の私鉄ネットワークが東西でつながりました。
　僕のキャラ路線図もこの日で最後になりました。



◎8月23日
運転再開
・六甲ライナー　住吉〜魚崎

　この日をもって、神戸周辺の被災地の鉄道路線は全て運転再開しました（ただし大開駅の再開は1996年1月17日、阪急伊丹駅の元箇所での再開は1998年11月21日になります）。

　参考に、内閣府の資料ページへのリンクをつけておきます。
阪神・淡路大震災教訓情報資料集【07】鉄道の復旧

（前記事）

阪神大震災時の逐次鉄道復旧状況の記録（路線図つき）その1

　27年前、阪神・淡路大震災では、神戸周辺の鉄道も壊滅的な被害にあい、全面再開には数ヶ月を要しました。

　当時はインターネットのWebサイトも一般的ではなく、そのかわりテキストベースのパソコン通信が情報交換によく使われていました。
　その中でも、鉄道趣味人向けに開かれていた NIFTY-Serve の「鉄道フォーラム」では、鉄道の被害状況や運転再開状況、代替交通手段（バス、船舶、飛行機など）の状況が、事細かに交換されていて、いま当時のログを読み返すととても貴重な資料のように思えます。

　僕もそのフォーラムに、日々の鉄道復旧状況を反映した路線図を、キャラクターで起こして投稿していました。
　ここで、そのキャラ路線図とともに当時の鉄道復旧状況を振り返ってみることにします。

◎1995年1月17日　兵庫県南部地震発生

◎1月21日
　周辺地域の路線が徐々に運転再開するものの、阪神間や神戸〜明石間は依然休止中。
　神戸市内へ鉄道で向かうには、神戸電鉄・北神急行利用で北側から新神戸へのアプローチが唯一の手段でした。

　この日からキャラ路線図の投稿を始めました。運転している路線を記載したものです。



◎1月23日
運転再開
・JR神戸線　須磨〜西明石
・阪急今津線　門戸厄神〜今津



◎1月25日
運転再開
・JR神戸線　甲子園口〜芦屋

　この日から代替バスについても記載を始めました。



◎1月26日
運転再開
・阪神本線　甲子園〜青木
・阪神武庫川線　全線




◎1月28日
運転再開
・山陽電鉄　霞ヶ丘〜明石



◎1月30日
運転再開
・JR神戸線　神戸〜須磨（新長田は当面通過）
・阪急今津線　仁川〜宝塚

　西側から神戸の中心部へアクセスできるようになりました。



◎1月31日
運転再開
・山陽電鉄　滝の茶屋〜霞ヶ丘



◎2月1日
運転再開
・阪神本線・神戸高速鉄道　三宮〜高速神戸

　地震後初めて、神戸の中心三宮への鉄道が再開しました。



◎2月5日
運転再開
・阪急今津線　門戸厄神〜仁川

　甲東園で山陽新幹線の橋桁が落下したため運転できなかった区間が復旧し、阪急今津線が全線で運転再開しました。



◎2月6日
運転再開
・神戸高速鉄道　花隈〜新開地

◎2月7日
運転再開
・神戸電鉄　長田〜鈴蘭台

　神戸電鉄が長田まで再開したことにより、北方面へのルートがもう1本できました。

◎2月8日
運転再開
・JR神戸線　芦屋〜住吉

　これからしばらくの間、JRの東方面からは住吉が終点になります。



◎2月11日
運転再開
・阪神本線　青木〜御影

　これからしばらくの間、阪神の東方面からは御影が終点になります。



◎2月13日
運転再開
・阪急神戸線　御影〜王子公園

　阪神御影やJR住吉から阪急御影まで歩いて乗り継ぐことにより、東方面から王子公園まで鉄道でアプローチできるようになりました。



◎2月15日
運転再開
・JR和田岬線　兵庫〜和田岬

◎2月16日
運転再開
・神戸市交通局　板宿〜新神戸（新長田、上沢、三宮は当面通過）

　神戸市営地下鉄が全線再開しました。ただし未復旧の3駅は通過し、他線へ乗り換えできる駅がひとつもない状態での再開です。



◎2月20日
運転再開
・JR神戸線　灘〜神戸
・阪神本線　岩屋〜三宮

　西方面から三宮へのJRでのアプローチができるようになり、また、曲がりなりにも鉄道の乗り継ぎによる東西横断が可能になりました。



（続く）

続・超フィルターによる全順序集合の拡大

　昨年の12月に書いた「超フィルターによる全順序集合の拡大」の記事の続きです。

　全順序集合 $X$ に対し、$X$ 上の超フィルター間に擬順序関係を定め、それを使って全順序集合 $\widehat{X}$ を構成し、$X$ を $\widehat{X}$ に埋め込みました。
　この $\widehat{X}$ がどんな構造になっているかを、もう少しきちんと調べてみます。

　まず、元の $X$ を2個の部分に「切断」します。具体的には、$X$ の2個の部分集合の組 $X_1, X_2$ で、次の性質を持つものを考えます。
\begin{equation*}
X_1 \neq \emptyset \ \land \ X_2 \neq \emptyset \ \land \ X_1 \cup X_2 = X \ \land \ X_1 < X_2
\end{equation*}
ここで最後の式は $\forall x_1 \in X_1 \, \forall x_2 \in X_2 \, (x_1 < x_2)$ の略記です。この条件をみたす組 $(X_1, X_2)$ を $X$ の切断と呼ぶことにします（切断が存在すれば、当然 $X$ は2個以上の元を持ちますので、以下そのことを仮定します）。
　$X$ が有理数体 $\mathbb{Q}$ のときは、切断がそれぞれ唯一の実数に対応するという有名な事実がありました。しかし超フィルターから構成した今回の $\widehat{X}$ では、$X_1$ の上限と $X_2$ の下限に対応するそれぞれ別の $\widehat{X}$ の元が存在するのです。

【定理】$X$ の切断 $(X_1, X_2)$ に対して、 \begin{equation*} \forall x \in X_1 \, (x \le \alpha) \ \land \ \alpha < \beta \ \land \ \forall x \in X_2 \, (\beta \le x) \end{equation*} となるような $\widehat{X}$ の2個の元 $\alpha, \beta$ がそれぞれ唯一存在する。

（証明）任意の $a \in X_1$ に対して、
\begin{equation*}
I_a = \{ \, x \in X_1 \, \mid \, a \le x \, \}
\end{equation*}
とおくと、$I_a$ は $X$ の区間であり、これら $I_a$ の全体からなる集合族は明らかに有限交差性を持つので、それらを含む超フィルター $\mathbf{A}$ が作れ、$\alpha = [\mathbf{A}]$ が $\widehat{X}$ の元として定まる。同様に、任意の $b \in X_2$ に対して、
\begin{equation*}
I_b = \{ \, x \in X_2 \, \mid \, x \le b \, \}
\end{equation*}
とおくと、これらの区間 $I_b$ の全体を含む超フィルター $\mathbf{B}$ が作れ、$\beta = [\mathbf{B}]$ が $\widehat{X}$ の元として定まる。作り方から明らかに $\lnot(\mathbf{B} \preceq \mathbf{A})$ なので $\alpha < \beta$ である。ある $a \in X_1$ が $\alpha < a$ となったと仮定すると、ある $A \in \mathbf{A}$ が $A < \{ a \}$ をみたすが、これから $A \cap I_a = \emptyset$ が従うから $\mathbf{A}$ のフィルターの条件に反し矛盾であり、従って $\forall x \in X_1 \, (x \le \alpha)$ が成立する。$\forall x \in X_2 \, (\beta \le x)$ も同様に示される。
　$\alpha, \beta$ がそれぞれ唯一に定まることを示す。このためには、
\begin{equation*}
\forall x \in X_1 \, (x \le \alpha) \land \alpha < \gamma < \beta \land \forall x \in X_2 \, (\beta \le x)
\end{equation*}
をみたす $\alpha, \beta, \gamma \in \widehat{X}$ が存在しえないことを示せばよい（唯一に定まらなければ必ずこのような順序関係になる $\widehat{X}$ の3個の元が存在する）。そこでこれらが存在すると仮定して矛盾を導く。$\alpha = [\mathbf{A}], \beta = [\mathbf{B}], \gamma = [\mathbf{C}]$ とすると、$\alpha < \gamma < \beta$ より、
\begin{equation*}
A < C_1\ \land \ C_2 < B
\end{equation*}
をみたす $A \in \mathbf{A}, C_1, C_2 \in \mathbf{C}, B \in \mathbf{B}$ が存在する。$\mathbf{C}$ のフィルターの条件より $c \in C_1 \cap C_2$ となる $c \in X$ が存在し、
\begin{equation*}
A < \{ c \} < B
\end{equation*}
が成り立つが、$c$ で生成される $X$ 上の単項フィルター $\uparrow c$ によって $\widehat{X}$ 上で $c = [ \uparrow c ]$ とみなされるから、$\alpha < c < \beta$ が成り立ち、$c \in X_1$ としても $c \in X_2$ としても矛盾である。従って $\alpha, \beta$ は唯一に定まる。□

　逆に、任意に $\widehat{X}$ の元 $\gamma$ を取ると、それは
　① ある $X$ の切断の境界に位置し、切断の下側の上限か、または上側の下限となる。
　② 全ての $X$ の元より大きい。
　③ 全ての $X$ の元より小さい。
のどれかになります。そして、②をみたす $\widehat{X}$ の元は、任意の $a \in X$ に対して、
\begin{equation*}
I_a = \{ \, x \in X \, \mid \, a \le x \, \}
\end{equation*}
で定まる $X$ の区間 $I_a$ の全体を含む超フィルターから構成できて、同様に③をみたす $\widehat{X}$ の元は、任意の $b \in X$ に対して、
\begin{equation*}
I_b = \{ \, x \in X \, \mid \, x \le b \, \}
\end{equation*}
で定まる $X$ の区間 $I_b$ の全体を含む超フィルターから構成できて、それぞれ唯一に定まります。

　以上で全順序集合 $X$ から超フィルターによって構成された $\widehat{X}$ の構造が明らかになりました。また、前回で証明を省略した「 $\widehat{X}$ は順序完備である」という事実についても、$\widehat{X}$ の任意の切断に対してそれに対応する $X$ の切断を考えて【定理】を適用することにより、切断の境界に位置する $\widehat{X}$ の元が高々2個存在することがわかるので、これで順序完備であることが証明できました。

　これ、何に使えるんでしょうか？まだよくわかりません。

（続く）（前記事）

鞆鉄道バスで行く鞆の浦と海岸巡り

　今年は新型コロナのせいもあり、乗りバス活動もあまり進みませんでした。特に兵庫県より西側へ全く行っていなかったので、12月も押し迫った休日に思い立って広島県まで行くことにしました。

　今回乗ったのは、鞆の浦を含む福山市の沼隈半島の海岸線を一周する鞆鉄道バスの路線です。



　大阪から新幹線で福山駅まで行き、南側駅前広場の一番わかりやすい場所にある乗り場から、鞆の浦行のバスに乗ります。さすがに有名観光地だけあって、30分に1本の間隔で便があります。





　中核都市の貫禄のある広い市街地道路をしばらく進み、橋を渡って芦田川沿いの堤防道路を南下します。







　水呑町の旧道を通り抜けると、海岸線に出ます。







　30分ほどで鞆の浦に到着です。







　この先、1日4本しかない松永駅行に乗り継ぐまで時間があるので、鞆の浦を歩き回ってちょっと観光します。
　まずは海沿いに街並みを散策。











　資料館のある高台に上り、上から海と街並みを見下ろします（360度写真）。



　下に降りてきて昼飯を食べ、外に出たらちょうど狭い道を通り抜けるバスに遭遇しました。





　さっき遭遇したバスが松永駅行として折り返してきたので、それに乗ります。



　鞆の浦の狭い街並みを通り抜けます。一方通行ではなく、ここしか通り抜ける道路がないので離合が大変です。











　鞆の浦を通り抜けても、港町特有の狭い道が続きます。





　ようやく走りやすい道になり、左手に内海大橋を見ながらしばらく走ると、少しロードサイド店が並ぶ旧沼隈町の中心地に入ります。







　このバスは山手の沼南高校を経由するので、沼隈支所でバスを降り、海岸沿いの常石経由のバスに乗り換えます。









　常石の海岸沿いのかなり大きな造船所を左手に見ながら走ります。







　海岸を離れてしばらく走ると、松永駅南口に到着です。
　JR山陽線で福山まで行き、新幹線で帰ります。







　鞆の浦から西方面へ抜けるバス路線は本数が少ないですが、狭い道を海岸線に沿ってバスでぐるっと巡るのはなかなか楽しく、鞆の浦を訪れた際にはぜひお勧めしたい観光ルートです。

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超フィルターによる全順序集合の拡大

【この記事は　日曜数学 Advent Calendar 2021　の、12月12日用として書きました。】

　「超フィルター」については、知っている人はよく知っていると思います（知らない方はWikipediaの記事などを参照してください）。コンパクト性の特徴付けや超準解析に使われるなど、色々と面白い性質を持っています。
　この超フィルターを使って、全順序集合を拡大することができます。この辺りの話は探せばどこかに論文や記事があると思いますが、練習問題のつもりで自分でやってみたところ、予想に反して何やら奇妙な集合ができあがってきましたので、本記事ではそれを紹介します。

０．予備知識

　まず、本記事で用いるフィルターに関する予備知識を列記します。
　$X$ を空でない集合とすると、$X$ の部分集合の族 $\mathbf{F} \, ( \neq \emptyset )$ が $X$ の冪集合上のフィルター（本記事では単に $X$ 上のフィルターと言います）であるとは、次の3つの条件を満たすことを言います。

　(1) $\emptyset \notin \mathbf{F}$
　(2) $A, B \in \mathbf{F} \to A \cap B \in \mathbf{F}$
　(3) $A \in \mathbf{F} \land A \subseteq B \subseteq X \to B \in \mathbf{F}$

　(1)と(2)から、フィルターから有限個の元をどう取っても、それらの共通部分は空にならないことがわかります。この性質を有限交差性と言います。逆に、$X$ の部分集合の族が有限交差性を持つならば、それらを含む $X$ 上のフィルターが存在します。
　ツォルンの補題を使うと、任意のフィルターに対し、それを含む極大フィルターの存在が証明できます。極大フィルターは超フィルターとも呼ばれます。$X$ 上のフィルター $\mathbf{F}$ が超フィルターであることと、次の性質とは同値です。

　(4) $A \subseteq X \to A \in \mathbf{F} \lor X \setminus A \in \mathbf{F}$

　$X$ の任意の元 $x$ に対し、$x$ を元に持つ $X$ の部分集合の全体は、超フィルターになります。これを $x$ が生成する単項フィルターと呼び、$\uparrow x$ と書きます。$X$ が有限集合ならば $X$ 上の超フィルターは必ず単項フィルターですが、$X$ が無限集合ならば単項フィルターにならない超フィルター（非単項超フィルター）が存在します。
　非単項超フィルターは実体がイメージしにくく、存在することはわかっても具体的にビシッと記述することはできませんが、それだけに深掘りすると面白いです。しかし本記事で用いる予備知識としてはここまであれば十分です。


１．超フィルター間に擬順序関係を定める

　$(X, \le)$ を全順序集合とします。例えば有理数の順序集合 $(\mathbb{Q}, \le)$ がその一例です。
　$X$ 上の超フィルターの全体を $\mathrm{U}(X)$ とし、その元 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ に対して次によって関係 $\preceq$ を定めます。
\begin{equation*}
\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} \quad \Leftrightarrow \quad \forall A \in \mathbf{A} \, \forall B \in \mathbf{B} \, \exists a \in A \, \exists b \in B \, (a \le b)
\end{equation*}
つまり「超フィルター $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ からそれぞれどのように（ $X$ の部分集合である）元 $A,B$ を取っても、$B$ が $A$ より完全に下になることはない」という関係を $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}$ と定めるわけです。以下見やすさのために、$X$ の部分集合 $A,B$ について「$B$ が $A$ より完全に下になる」という条件を $B < A$ すなわち、
\begin{equation*}
B < A \quad \Leftrightarrow \quad \forall a \in A \, \forall b \in B \, (b < a)
\end{equation*}
のように略記することにします。こうすると、
\begin{equation*}
\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} \quad \Leftrightarrow \quad \forall A \in \mathbf{A} \, \forall B \in \mathbf{B} \, \lnot(B < A)
\end{equation*}
となります。イメージ図にすると次の感じです。



　この関係 $\preceq$ は $\mathrm{U}(X)$ 上の全擬順序関係になります。証明は次のとおりです。

［反射律］フィルターの有限交差性から $\mathbf{A} \preceq \mathbf{A}$ は明らか。

［推移律］$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} \in \mathrm{U}(X), \ \mathbf{A} \preceq \mathbf{B} \land \mathbf{B} \preceq \mathbf{C} \land \lnot (\mathbf{A} \preceq \mathbf{C})$ と仮定して矛盾を導く。このときある $A \in \mathbf{A}, C \in \mathbf{C}$ が存在して $C < A$ となる。そして任意に $B \in \mathbf{B}$ をとると、
\begin{equation*}
\lnot(B < A) \land \lnot(C < B)
\end{equation*}
が成立する。そこで、
\begin{equation*}
C' = \{ \, x \in X \, \mid \, \exists c \in C \, (x \le c) \, \}
\end{equation*}
と定めると、$C' < A$ だから $C' \notin \mathbf{B}$ であり、かつ $\mathbf{B} \cup \{ C' \}$ は有限交差性を持つ。従って $\mathbf{B} \cup \{ C' \}$ を含むフィルターが存在し、それは $\mathbf{B}$ を真に拡張する。このことは $\mathbf{B}$ が超フィルター（=極大フィルター）であることと矛盾する。

［比較可能律］$\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathrm{U}(X), \ \lnot(\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}) \land \lnot(\mathbf{B} \preceq \mathbf{A})$ と仮定して矛盾を導く。このときある $A_1,A_2 \in \mathbf{A}$ と $B_1,B_2 \in \mathbf{B}$ が存在して $B_1 < A_1 \land A_2 < B_2$ となる。フィルターの有限交差性から $a \in A_1 \cap A_2, b \in B_1 \cap B_2$ となる $a,b$ がとれるが、これに対して $b < a \land a < b$ となるから矛盾を生じる。

　以上で関係 $\preceq$ が $\mathrm{U}(X)$ 上の全擬順序関係になることが証明できました。推移律の証明に超フィルターであることを使用しています。


２．同値類によって全順序集合を構成する

　全擬順序集合 $(\mathrm{U}(X), \preceq)$ から、一般論によって全順序集合を構成することができます。
　$\mathrm{U}(X)$ 上に関係 $\sim$ を、
\begin{equation*}
\mathbf{A} \sim \mathbf{B} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{A} \preceq \mathbf{B} \land \mathbf{B} \preceq \mathbf{A}
\end{equation*}
によって定めると、$\sim$ は同値関係です。そこで、商集合 $\mathrm{U}(X) / \sim$ を $\widehat{X}$ とおくと、$\widehat{X}$ 上に自然な順序関係 $\le$ が定まり、$(\widehat{X}, \le)$ は全順序集合になります。以下、$\mathbf{A} \in \mathrm{U}(X)$ を代表元とする $\widehat{X}$ の元を $[ \mathbf{A} ]$ と書きます。
　$a \in X$ に対し、$a$ で生成される $X$ 上の単項フィルター $\uparrow a$ は超フィルターですから、$a$ と $[ \uparrow a ]$ を同一視することによって、$X$ を順序を保って $\widehat{X}$ に埋め込むことができます。
　これで全順序集合 $X$ を超フィルターを使って全順序集合 $\widehat{X}$ に拡大することができました。


３．何ができあがったのか？

　さて、問題はこのようにして作られた全順序集合 $\widehat{X}$ がなにものかということです。

　はじめ、$\widehat{X}$ は $X$ の順序完備化になるとばかり思っていました。ところが、完備化の条件である「 $X$ は $\widehat{X}$ において稠密」という命題が、$X$ に自己稠密という条件をつけても、どうにも証明できません。よく考えると次のような反例が存在します。

　$X$ を有理数の全体 $\mathbb{Q}$ とし、上の方法で $\widehat{\mathbb{Q}}$ を構成します。無理数 $\gamma$ をひとつとると、$\mathbb{Q}$ の区間 $[x, \gamma)$ の全体は有限交差性を持つので、それらを含む超フィルター $\mathbf{C}_-$ が作れます。同様に $\mathbb{Q}$ の区間 $(\gamma, x]$ の全体は有限交差性を持つので、それらを含む超フィルター $\mathbf{C}_+$ が作れます（少し記号の濫用をしていますが、解釈できると思います）。このとき明らかに $\lnot(\mathbf{C}_+ \preceq \mathbf{C}_-)$ なので $\gamma_- = [\mathbf{C}_-], \ \gamma_+ = [\mathbf{C}_+]$ とおくと、$\gamma_- < \gamma_+$ になります。そして明らかに、$a < \gamma$ なる有理数 $a$ と $\gamma < b$ なる有理数 $b$ に対して、$\widehat{\mathbb{Q}}$ 上で $a < \gamma_- < \gamma_+ < b$ です。つまり $\gamma_-$ と $\gamma_+$ の間には有理数は存在せず、$\mathbb{Q}$ は $\widehat{\mathbb{Q}}$ において稠密ではありません。
　$\mathbb{Q}$ を順序完備化すると実数の順序空間 $\mathbb{R}$ が得られますが、この方法で得られた $\widehat{\mathbb{Q}}$ はそれ以上の何か、少なくとも各無理数に対して「下側の無理数」と「上側の無理数」の2つが存在する空間になっています。
　さらに、もし $\gamma$ が有理数ならば、同様に作られた超フィルター $\mathbf{C}_+, \mathbf{C}_-$ のほかに単項フィルター $\uparrow \gamma$ が存在して $[\mathbf{C}_-] < [\uparrow \gamma] < [\mathbf{C}_+]$ すなわち $\gamma_- < \gamma < \gamma_+$ となるので、各有理数に対しては「下側の有理数」と「真ん中の有理数」と「上側の有理数」の3つが存在します。

　一方で、証明は少し長いので省略しますが、$\widehat{X}$ は順序完備にはなります。すなわち $\widehat{X}$ のデデキント切断 $(A, B)$ には必ず $\max{A}$ または $\min{B}$ のどちらかが存在します。このとき $\max{A}$ と $\min{B}$ の両方が存在し得ることは、先ほどの反例からもわかります。

　$X$ が順序群のときに、群演算を $\widehat{X}$ に拡大することができるのか、$X$ が半順序集合のときはどうなるのかなど興味は尽きませんが、まだ自分の頭の中で整理できていませんので、今回はここまでにしておきます。

（続く）

休日限定の「芦有バス」で紅葉の六甲山地を横断

　阪神間に東西に横たわる六甲山地には南北に横断する道路がいくつかあり、バス路線も通っています。
　そのうちの一つ、芦屋と有馬温泉を結ぶ芦有ドライブウェイを通り抜ける阪急バスの路線に乗ってきました。



　もともとは「芦有バス」と呼ばれ、ドライブウェイを経営する会社が運営する路線でしたが、1977年に阪急バスに移管して「芦屋有馬線」として現在に至ります。その名残なのか、始発の阪神芦屋のバス停も他の路線とは別の位置（阪神芦屋駅の北側）にあって、ちょっとわかりにくいです。



　途中の芦屋ハイランドまでは毎日運行がありますが、有馬温泉まで通り抜ける便は2020年4月より土休日のみの運行、しかも冬期運休になりました。この日は今年の最終運行日です。





　JR芦屋駅、阪急芦屋川駅を通り、芦屋川沿いの高級住宅街を北向きに登っていきます。





　山間部に入ってしばらく行くと、有料の芦有ドライブウェイになります。横断道路としては近くに無料の西宮北道路があるので、こちらはどうしても割高感があります。







　綺麗な紅葉の中を走るドライブウェイです。



　高級住宅地（別荘地？）の奥池地区を通り抜けます。前述の通りここまでは毎日運行があります。



　紅葉を楽しみながらしばらく走ると、東六甲展望台に着きます。その名も「展望台」というバス停があり、バスは駐車場に入って見事な展望を楽しませてくれます。





　トンネルを抜けると有馬側に降りていきます。









　約1時間弱で終点の有馬温泉に到着です。



　コロナも小康状態になり、しかも紅葉の休日なので、有馬温泉は大変な人出でした。人混みを避けてちょっと周辺を散策します。





　ここからの帰路ですが、鉄道やロープウェイのほか、バス路線も各地へたくさん伸びているので迷うところです。今回は芦屋有馬線と同じく、ほとんど休日しか運行せず冬期運休となる蓬莱峡経由の宝塚行阪急バスに乗ることとしました。





　こちらのルートは、沿道の木に邪魔されてあまり展望が良くないですが、それでも時々紅葉の山並みがチラッと見えます。





　約30分で宝塚に到着です。



　今回使った2つの路線はどちらも歴史がある観光客向けの路線ですが、阪急バスも近年は容赦無く路線を廃止してくるので、風前の灯といっていいと思います。今年はもう運行終了していますが、興味のある方は来年の早めに乗っておくことをお勧めします。

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ケーブルで登り足で降りるお気楽な生駒山の休日

　10月はいったん寒くなったと思ったら、後半はまた暖かい日が戻ってきました。
　そういえば生駒山もしばらく登ってないなと思ったので、暇つぶしに行ってきました。

　登りは楽をして、近鉄生駒駅に隣接する鳥居前駅からケーブルに乗ります。そういえばこのケーブルに乗るのも初めてだったかもしれません（記憶が曖昧）。



　宝山寺までは2本の線路が並行する複線のケーブルです。普段は左側の犬の顔をした方が運行しています。





　反対側から来るネコの顔をした車両とすれ違います。お互いに鳴き声で挨拶しています。



　宝山寺で普通の単線ケーブルに乗り換えます。



　途中駅が2つありますが、この便はどちらも通過して、生駒山上まで直行しました。





　ケーブルを降りるとすぐ生駒山上遊園地です。入場だけなら無料です。



　乗り物も眺めが良くて楽しそうですが、家族連れが多い中でオッサン一人で乗るのも気がひけるので・・・





乗り物は諦めて、大阪平野を展望できるレストランのテラス席で休憩します。



　生駒山上には他にも昔ながらのレストランが何軒か並んでいます。





　遊園地のすぐそばには関西各局のテレビ塔が立ち並びます。



　さて、帰りは大阪側へ徒歩で下ることとします。遊園地を外れるとすぐに、足元のジメジメした歩きにくい登山道になりました。



　少し歩くと信貴生駒スカイラインの展望台に着き、素晴らしい眺めが堪能できます。
　こちらが大阪側。



　こちらが奈良側。



　こちらは360度パノラマ写真です（クリック・ドラッグで動きます）。



　スカイラインの方が歩きやすそうですが、自動車専用道路なので歩行者通行禁止です。



　登山道はまもなく終わり、昔の街道の石畳が残る暗峠（くらがりとうげ）に降りてきました。





　歩いてちょっと暑くなったので、峠にあるカフェでソフトクリームを食べて休憩します。



　暗峠からは奈良側にも大阪側にも下れますが、今回は大阪側に下ることにしました。
　一応これでも国道308号線なので舗装されてはいますが、勾配がとても急なので、下るのは結構疲れます。





　途中に観音さんがあったりします。



　下るにつれて、大阪平野の展望がだんだん開けてくるのが気分的に嬉しくなります。





　枚岡駅でウォーキングは終わり、近鉄電車で帰ります。





　登りをケーブルにしたので疲れもなく、眺めの良い生駒山を堪能できた有意義な一日でした。ただし急勾配の下り坂を延々と歩くのはやはり結構足に負担だったようで、その後数日間ずっと痛みが残りました。